Problema 3 Resolva as integrais definidas abaixo.
integral0^1 raiz3 z+5 d z

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida integral0^1 raiz3z+5,dz. Vamos usar o método de substituição, que consiste em trocar a variável de integração para simplificar a raiz e aplicar a regra de potência.

Passo 2

Fazendo a substituição u = 3z + 5. Então temos du = 3,dz, ou seja, dz = tfrac13,du. Quando z=0, u=5, e quando z=1, u=8.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral0^1 raiz3z+5,dz = integralu=5^8 raizu cdot 13,du = 13integral5^8 u^1/2,du

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para integrar u^1/2:
integral u^1/2,du = u^3/23/2 = 23u^3/2
Logo,
13integral5^8 u^1/2,du = 13cdot 23 l[u^3/2r]5^8 = 29l(u^3/2r)|5^8

Passo 5

Avaliar nos limites 5 e 8. Sabendo que 8^3/2=(raiz8)^3=(2raiz2)^3=16raiz2 e 5^3/2=5raiz5, temos:
29l(8^3/2-5^3/2r) = 29l(16raiz2 - 5raiz5r) = 32raiz2 - 10raiz59

Resposta

32raiz2 - 10raiz59

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