Problema 4 Esboce as curvas x=5-y^2 e y=x+1 e encontre a área compreendida entre elas. Dica: essas curvas se encontram nos pontos (-4,-3) e (1,2).

Passo 1

O exercício pede a área entre a parábola horizontal x = 5 - y^2 e a reta y = x + 1. Vamos usar o conceito de área entre curvas expressas como x = f(y) e x = g(y), integrando a diferença ao longo do eixo y.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, substituímos a expressão da reta na da parábola:

Passo 3

5 - y^2 = y - 1

Passo 4

Isso leva a y^2 + y - 6 = 0, cujas raízes são y = 2 e y = -3. Assim os pontos de interseção são (1,2) e (-4,-3).

Passo 5

Entre y = -3 e y = 2, a parábola gera xpar = 5 - y^2 e a reta gera xret = y - 1. Comparando, vemos que 5 - y^2 >= y - 1 nesse intervalo, logo a parábola fica à direita e a reta à esquerda.

Passo 6

Montamos então o integral da área:

Passo 7

A = integraly=-3^2 l[(5 - y^2) - (y - 1)r] , dy

Passo 8

No integrando temos (5 - y^2) - (y - 1) = 6 - y - y^2, e uma primitiva é

Passo 9

6y - tfracy^22 - tfracy^33

Passo 10

Avaliando de y=-3 a y=2

Passo 11

l(6y - tfracy^22 - tfracy^33r)|-3^2 = l(12 - 2 - tfrac83r) - l(-18 - tfrac92 + 9r) = tfrac223 + tfrac272 = tfrac1256

Resposta

tfrac1256

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