Cada item apresenta um par de parametrizações. Assinale qual(is) representa(m) uma mesma curva.
(a)
e
.
(b)
e
.
(c)
e
.
(d)
e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para comparar, em cada item, dois vetores de parametrização
e
e decidir se eles têm a mesma imagem (isto é, se descrevem o mesmo conjunto de pontos no plano). Para isso vamos eliminar o parâmetro ou identificar a curva implícita e comparar domínios e fórmulas.
Passo 2
Item (a):
,
. Eliminando
, temos
e
percorre todos os
. Logo ambas traçam exatamente a curva
,
.
Passo 3
Item (b):
. Sabemos que
então a imagem é o ramo da hipérbole
com
.
,
. Aqui
(para
temos
). Logo ambos descrevem o mesmo ramo da hipérbole
,
.
Passo 4
Item (c):
,
. Isso é o segmento de reta de
até
, pois
,
e
.
,
. Aqui
,
, o mesmo segmento
,
, apenas percorrido em sentido inverso. A imagem é idêntica.
Passo 5
Item (d):
,
. Definindo
,
varia de
a
, traçando a semicircunferência superior de raio 2.
,
. Definindo
,
também varia de
a
, traçando a mesma semicircunferência superior de raio 2. Assim a imagem coincide.
Resposta
(a), (b), (c) e (d) representam a mesma curva em cada item.