Cada item apresenta um par de parametrizações. Assinale qual(is) representa(m) uma mesma curva.
(a) r1(t)=(t, 1t), t>0 e r2(t)=(e^t, e^-t), t in R.
(b) r1(t)=(cosh t, sinh t), t in R e r2(t)=(sec t, tan t),-pi / 2 <= t <= pi / 2.
(c) r1(t)=(1-t, t), 0 <= t <= 1 e r2(t)=(t, 1-t), 0 <= t <= 1.
(d) r1(t)=(2 cos 2 t, 2 sin 2 t), 0 <= t <= pi / 2 e r2(t)=(2 cos (t / 2), 2 sin (t / 2)), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede para comparar, em cada item, dois vetores de parametrização vec r1(t) e vec r2(t) e decidir se eles têm a mesma imagem (isto é, se descrevem o mesmo conjunto de pontos no plano). Para isso vamos eliminar o parâmetro ou identificar a curva implícita e comparar domínios e fórmulas.

Passo 2

Item (a):
vec r1(t)=(t,tfrac1t), t>0. Eliminando t, temos
x=t, y=1tLongrightarrow y=1x,;x>0
vec r2(t)=(e^t,e^-t), tin R. Aqui
x=e^t>0, y=e^-t=1e^t=1x,
e e^t percorre todos os x>0. Logo ambas traçam exatamente a curva y=1/x, x>0.

Passo 3

Item (b):
vec r1(t)=(cosh t,sinh t). Sabemos que
cosh^2t-sinh^2t=1,cosh t>=1,
então a imagem é o ramo da hipérbole x^2-y^2=1 com x>=1.
vec r2(t)=(sec t,tan t), -tfracpi2<= t<=tfracpi2. Aqui
sec^2t-tan^2t=1,sec t>=1
(para |t|<tfracpi2 temos cos t>0). Logo ambos descrevem o mesmo ramo da hipérbole x^2-y^2=1, x>=1.

Passo 4

Item (c):
vec r1(t)=(1-t,;t), 0<= t<=1. Isso é o segmento de reta de (1,0) até (0,1), pois x=1-t, y=t e x+y=1.
vec r2(t)=(t,;1-t), 0<= t<=1. Aqui x=t, y=1-t, o mesmo segmento x+y=1, 0<= x,y<=1, apenas percorrido em sentido inverso. A imagem é idêntica.

Passo 5

Item (d):
vec r1(t)=(2cos2t,;2sin2t), 0<= t<=tfracpi2. Definindo theta=2t, theta varia de 0 a pi, traçando a semicircunferência superior de raio 2.
vec r2(t)=(2cos!tfrac t2,;2sin!tfrac t2), 0<= t<=2pi. Definindo phi=tfrac t2, phi também varia de 0 a pi, traçando a mesma semicircunferência superior de raio 2. Assim a imagem coincide.

Resposta

(a), (b), (c) e (d) representam a mesma curva em cada item.

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