Usando o método das transformadas de Laplace, resolva os problemas de valor inicial:
y^prime prime-2 y^prime+5 y=-8 e^-t ; y(0)=2, y^prime(0)=12

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y'' - 2y' + 5y = -8e^-t, y(0)=2,;y'(0)=12
usando transformadas de Laplace. Vamos usar as propriedades
Ly'=sY(s)-y(0),
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e
Le^-t=1/(s+1).

Passo 2

Aplicando L em cada termo de
y'' -2y' +5y = -8e^-t e usando as condições iniciais, obtemos
(s^2Y - 2s -12);-;2,(sY -2);+;5Y ;=;-8,1s+1
Reagrupando,
(s^2 -2s +5),Y(s);-;2s-8 ;=;-,8s+1

Passo 3

Isolamos Y(s):
(s^2 -2s +5)Y(s) = 2s+8 ;-;8s+1,
Y(s) = 2(s+4)s^2 -2s +5;-;8(s+1),l(s^2 -2s +5r)

Passo 4

Note que
s^2 -2s +5 = (s-1)^2 +2^2
Para o segundo termo fazemos frações parciais:
8(s+1)l((s-1)^2+4r) =As+1+B(s-1)+C(s-1)^2+4
Igualando numeradores obtemos
A=1, B=-1, C=2

Passo 5

Substituindo esses valores e somando com o primeiro termo, chega-se a
Y(s) = 3s+5(s-1)^2+4;-;1s+1

Passo 6

Agora invertendo a transformada de Laplace:
L^-1!ltfracs-1(s-1)^2+2^2r = e^tcos(2t), L^-1!ltfrac2(s-1)^2+2^2r = e^tsin(2t), L^-1!ltfrac1s+1r = e^-t
Escrevendo 3s+5 = 3(s-1)+8 e aplicando cada parte, obtemos
y(t) = 3e^tcos(2t) + 4e^tsin(2t) - e^-t

Resposta

y(t) = 3e^tcos(2t) + 4e^tsin(2t) - e^-t

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