Seja C a curva parametrizada por r(t)=(t cos t, t sin t), t in[pi2, 3 pi2]. Assinale a alternativa que contém a integral que expressa o comprimento de arco de C :
(a) integralpi / 2^3 pi / 2 raiz1+t^2 d t.
(b) integral0^pi raiz1+t^2 d t.
(c) integralpi / 2^3 pi / 2 t(cos t+sin t) d t.
(d) integral0^pi(1+t^2) d t.
(e) 12 integral0^pi(t^2 sin 2 t) d t.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por
r(t) = (tcos t,,tsin t), com tinl[tfracpi2,,tfrac3pi2r].
Para isso, aplicamos a fórmula
L = integrala^b l|r,'(t)r| ,dt

Passo 2

Calculamos a derivada de r(t):
r,'(t) = l(cos t - tsin t,;sin t + tcos tr)

Passo 3

Escrevemos o quadrado da norma de r,'(t):
l|r,'(t)r|^2 = (cos t - tsin t)^2 + (sin t + tcos t)^2

Passo 4

Expandindo e somando os termos, obtemos
(cos t - tsin t)^2 + (sin t + tcos t)^2 = cos^2 t - 2tcos tsin t + t^2sin^2 t + sin^2 t + 2tsin tcos t + t^2cos^2 t = 1 + t^2
Logo
l|r,'(t)r| = raiz1 + t^2

Passo 5

Substituindo na integral de comprimento de arco, com a = tfracpi2 e b = tfrac3pi2, temos
L = integralpi/2^3pi/2 raiz1 + t^2,dt

Resposta

(a) integralpi/2^3pi/2 raiz1 + t^2,dt

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