Seja C a curva parametrizada por . Assinale a alternativa que contém a integral que expressa o comprimento de arco de C :
(a) .
(b) .
(c) .
(d) .
(e) .
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por , com .
Para isso, aplicamos a fórmula
Passo 2
Calculamos a derivada de r(t):
r,'(t) = l(cos t - tsin t,;sin t + tcos tr)
Passo 3
Escrevemos o quadrado da norma de r,'(t):
l|r,'(t)r|^2 = (cos t - tsin t)^2 + (sin t + tcos t)^2
Passo 4
Expandindo e somando os termos, obtemos
(cos t - tsin t)^2 + (sin t + tcos t)^2 = cos^2 t - 2tcos tsin t + t^2sin^2 t + sin^2 t + 2tsin tcos t + t^2cos^2 t = 1 + t^2
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l|r,'(t)r| = raiz1 + t^2
Passo 5
Substituindo na integral de comprimento de arco, com a = tfracpi2 e b = tfrac3pi2, temos