Em cada item, calcule a área pedida.
Da região delimitada por x=y^{2} e y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região delimitada pelas curvas x=y^2 e y=x^2. Vamos usar o conceito de área entre duas curvas em coordenadas cartesianas, escolhendo integrar em relação a y.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, resolvemos o sistema
\begin{cases} x=y^2,\\\ y=x^2. \end{cases}
Substituindo x=y^2 em y=x^2, vem y=(y^2)^2=y^4, ou seja
y^4 - y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y(y^3-1)=0,
cujo único y real em [0,1] são y=0 e y=1. Isso gera os pontos (0,0) e (1,1).

Passo 3

No intervalo 0\le y\le1, a curva mais à esquerda é
x=y^2
e a mais à direita é
y=x^2\quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt{y}.
Logo a área da região é
A = \int_{y=0}^{1}\bigl(x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}\bigr)\,dy = \int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{y}-y^2\bigr)\,dy.

Passo 4

Calculamos cada integral separadamente:
\int_{0}^{1}\sqrt{y}\,dy = \int_{0}^{1}y^{1/2}\,dy = \frac{2}{3}\,,
\int_{0}^{1}y^2\,dy = \frac{1}{3}\,.
Portanto
A = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.

Resposta

A área da região é \frac{1}{3}.

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