Discuta o comportamento das séries abaixo, justificando sua resposta:
\sum_{n=1}^{+\infty} \operatorname{tg}(1 / n)

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty} \tan\bigl(1/n\bigr).
Trata-se de uma série de termos positivos cujo comportamento para grandes n é determinado pela expansão de \tan x em x\approx0. Vamos usar o desenvolvimento de Taylor de \tan x e o teste de comparação assintótica.

Passo 2

Quando x\to0, a expansão de Taylor de \tan x é
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o\bigl(x^4\bigr).
Substituindo x=1/n, obtemos
\tan\bigl(1/n\bigr) = \frac{1}{n} + \frac{1}{3\,n^3} + o\bigl(1/n^4\bigr) = \frac{1}{n} + O\!\bigl(1/n^3\bigr).

Passo 3

Pelo teste de comparação de limite, considere a série harmônica de referência \sum_{n=1}^{\infty}1/n. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{\tan(1/n)}{1/n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 + O(1/n^2)\Bigr) = 1.
Como \sum 1/n é divergente e o limite é finito e não nulo, segue que
\sum \tan(1/n) também diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{+\infty}\tan\bigl(1/n\bigr)
é divergente.

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