Discuta o comportamento das séries abaixo, justificando sua resposta:
Passo 1
O enunciado nos pede para estudar a convergência da série
Trata-se de uma série de termos positivos cujo comportamento para grandes
é determinado pela expansão de
em
. Vamos usar o desenvolvimento de Taylor de
e o teste de comparação assintótica.
Passo 2
Quando
, a expansão de Taylor de
é
Substituindo
, obtemos
Passo 3
Pelo teste de comparação de limite, considere a série harmônica de referência
. Calculamos
Como
é divergente e o limite é finito e não nulo, segue que
também diverge.
Resposta
A série
é divergente.