a) Use a familia y=c_1 cosh(x) + c_2 sinh(x) para (-\infty, \infty).
Mostre que y=0 é uma solução de y^{\prime \prime} = y que satisfaz y(0)=0 e y(1)=0.
b) Use a família y = c_3 e^x + c_4 e^{-x} para encontrar uma solução que satisfaça as condições de contorno na parte (a). As soluções nas partes (a) e (b) são equivalentes?

Passo 1

Resumindo: queremos resolver a EDO linear de segunda ordem
y'' = y
no intervalo (-\infty,\infty) sujeita às condições de contorno
y(0)=0,\quad y(1)=0.
Na parte (a) vamos usar a base hiperbólica
y(x)=c_{1}\operatorname{cosh}(x)+c_{2}\operatorname{sinh}(x),
e na parte (b) a base exponencial
y(x)=c_{3}e^{x}+c_{4}e^{-x}.
O conteúdo envolvido é solução geral de EDO com coeficientes constantes e aplicação de condições de contorno para determinar as constantes.

Passo 2

Usando
y(x)=c_{1}\operatorname{cosh}(x)+c_{2}\operatorname{sinh}(x)
impomos y(0)=0. Como \operatorname{cosh}(0)=1 e \operatorname{sinh}(0)=0, obtemos
y(0)=c_{1}\cdot1 + c_{2}\cdot0 = c_{1} = 0.
Logo c_{1}=0 e
y(x)=c_{2}\operatorname{sinh}(x).

Passo 3

Agora impondo y(1)=0, temos
y(1)=c_{2}\operatorname{sinh}(1)=0.
Como \operatorname{sinh}(1)\neq0, concluímos c_{2}=0. Portanto a única solução que satisfaz ambas as condições é
y(x)\equiv 0.

Passo 4

Na família exponencial
y(x)=c_{3}e^{x}+c_{4}e^{-x},
impondo y(0)=0
c_{3}+c_{4}=0\quad\Longrightarrow\quad c_{4}=-c_{3}.
Logo
y(x)=c_{3}\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)=2c_{3}\operatorname{sinh}(x).
Impondo y(1)=0 resulta em
2c_{3}\operatorname{sinh}(1)=0\quad\Longrightarrow\quad c_{3}=0,
pois \operatorname{sinh}(1)\neq0. Assim de novo
y(x)\equiv 0.

Passo 5

As duas famílias de soluções geram o mesmo espaço de soluções de y''=y, pois
\operatorname{cosh}(x)=\tfrac12(e^{x}+e^{-x}),\quad\operatorname{sinh}(x)=\tfrac12(e^{x}-e^{-x}).
Em ambos os casos as condições de contorno forçam todas as constantes a zero, levando à solução trivial.

Resposta

A solução sujeita a y(0)=0 e y(1)=0 é y(x)\equiv0 em ambos os casos, e as representações pelas famílias hiperbólica e exponencial são equivalentes.

Exercícios relacionados