a) Use a familia
para
.
Mostre que
é uma solução de
que satisfaz
e
.
b) Use a família
para encontrar uma solução que satisfaça as condições de contorno na parte (a). As soluções nas partes (a) e (b) são equivalentes?
Mostre que
b) Use a família
Passo 1
Resumindo: queremos resolver a EDO linear de segunda ordem
no intervalo
sujeita às condições de contorno
Na parte (a) vamos usar a base hiperbólica
e na parte (b) a base exponencial
O conteúdo envolvido é solução geral de EDO com coeficientes constantes e aplicação de condições de contorno para determinar as constantes.
Passo 2
Usando
impomos
. Como
e
, obtemos
Logo
e
Passo 3
Agora impondo
, temos
Como
, concluímos
. Portanto a única solução que satisfaz ambas as condições é
Passo 4
Na família exponencial
impondo
dá
Logo
Impondo
resulta em
pois
. Assim de novo
Passo 5
As duas famílias de soluções geram o mesmo espaço de soluções de
, pois
Em ambos os casos as condições de contorno forçam todas as constantes a zero, levando à solução trivial.
Resposta
A solução sujeita a
e
é
em ambos os casos, e as representações pelas famílias hiperbólica e exponencial são equivalentes.