Em cada item calcule f^{\prime}(x) se:
f(x)=\int_{\cos (x)}^{3} 3 t^{2} d t

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\int_{\cos(x)}^{3}3t^{2}\,dt
e pede f'(x). Isso envolve o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) e a Regra da Cadeia, pois o limite inferior depende de x.

Passo 2

Pela regra de derivação de integrais com limites variáveis, se
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}g(t)\,dt,
então
F'(x)=g\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;g\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
Aqui temos a(x)=\cos(x), b(x)=3 e g(t)=3t^{2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas dos limites:
b'(x)=\frac{d}{dx}(3)=0, \qquad a'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr)=-\sin(x).
Logo,
f'(x)=g(3)\cdot0 \;-\; g\bigl(\cos(x)\bigr)\,(-\sin(x)) =-\;3\bigl(\cos(x)\bigr)^{2}\,(-\sin(x)).

Passo 4

Simplificando o sinal,
f'(x)=3\bigl(\cos(x)\bigr)^{2}\sin(x).

Resposta

f'(x)=3\sin(x)\cos^{2}(x).

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