Em cada item calcule f^{\prime}(x) se:
f(x)=\int_{x}^{1+x^{2}} \sqrt{1-t^{3}} d t.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\int_{x}^{1+x^{2}}\sqrt{1-t^{3}}\;dt
e pede f'(x). O conteúdo aqui é a regra de Leibniz para derivar integrais com limites que dependem de x.

Passo 2

A regra de Leibniz diz que, se
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}g(t)\;dt,
então
F'(x)=g\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;g\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).

Passo 3

No nosso caso,
a(x)=x,\quad b(x)=1+x^{2},\quad g(t)=\sqrt{1-t^{3}}.
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a'(x)=1 \quad\text{e}\quad b'(x)=2x.

Passo 4

Aplicando a regra de Leibniz:
f'(x) = \sqrt{1-\bigl(1+x^{2}\bigr)^{3}}\;\cdot2x \;-\;\sqrt{1-x^{3}}\;\cdot1.

Resposta

f'(x)=2x\sqrt{1-\bigl(1+x^{2}\bigr)^{3}}\;-\;\sqrt{1-x^{3}}.

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