Em cada item, calcule a transformada de Laplace da função (pode ser pela definição ou usando tabela)
f(t)=e^{a t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \,f(t)=e^{a t}\, (assumir t\ge0).
Informações que temos:
  • A função é \,f(t)=e^{a t}\,, com a sendo um parâmetro (normalmente real, mas pode ser complexo).
  • Queremos encontrar \mathcal{L}\{f\}(s) como função da variável complexa \,s.

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar o que cada símbolo significa, passo a passo.
Definição:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
O que isso significa:
  • \,t\ge0\, é a variável de tempo.
  • \,s\, é a variável complexa da transformada (normalmente escrevemos s=\sigma+i\omega).
  • A integral deve convergir (existir) para que a transformada faça sentido; isso impõe uma condição de convergência em \,s\, que será determinada abaixo.

Passo 3

Agora aplico a definição à nossa função \,f(t)=e^{a t}\,.
Substituindo na definição:
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,e^{a t}\,dt.
Combino os exponenciais (somando expoentes):
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt.
Para integrar, primeiro considero a integral com limite superior finito T:
\int_{0}^{T} e^{-(s-a)t}\,dt.
A antiderivada de e^{-(s-a)t} em relação a t é -\dfrac{1}{s-a}e^{-(s-a)t} (desde que s\neq a). Calculando:
\int_{0}^{T} e^{-(s-a)t}\,dt = \left[-\frac{1}{s-a}e^{-(s-a)t}\right]_{0}^{T} = \frac{1 - e^{-(s-a)T}}{s-a}.
Agora fazemos T\to\infty. Para que o termo e^{-(s-a)T} tenda a zero quando T\to\infty é preciso que a parte real do expoente seja negativa, isto é
\operatorname{Re}(s-a)>0\quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a).
Sob essa condição o termo exponencial some no limite e obtemos
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\frac{1}{s-a},
válido para \,\operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a). Se \,a\in\mathbb{R}\, isso fica simplesmente \operatorname{Re}(s)>a.
Se \operatorname{Re}(s)\le\operatorname{Re}(a) a integral diverge e a transformada não existe nesse \,s.

Passo 4

Uma forma alternativa, por tabela/propriedade (útil na prova): sabe-se que \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s} para \operatorname{Re}(s)>0. Existe a propriedade de deslocamento no domínio de s:
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s). Aplicando com f(t)=1 (portanto F(s)=1/s) obtemos imediatamente \mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\dfrac{1}{s-a}, com a mesma condição de convergência \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a).

Passo 5

Observações finais e exemplos para fixar:
  • Para a=2 a transformada é \dfrac{1}{s-2} válida para \operatorname{Re}(s)>2.
  • Se a<0 a região de convergência fica mais ampla (por exemplo, para a=-1 é \operatorname{Re}(s)>-1).
  • Se s=a a expressão \dfrac{1}{s-a} dá divisão por zero; de fato a integral diverge nesse caso.
  • Se a for complexo a mesma derivação vale, trocando a por sua parte real na condição de convergência: \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a).
Vai dar tudo certo na prova — lembra que essa transformada é uma das que aparecem sempre e é rápida de fazer usando a definição ou a propriedade de deslocamento!

Resposta

\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\frac{1}{s-a},\qquad \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a)

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