Em cada item, calcule a transformada de Laplace da função (pode ser pela definição ou usando tabela)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
(assumir
).
Informações que temos:
Informações que temos:
- A função é
, com sendo um parâmetro (normalmente real, mas pode ser complexo). - Queremos encontrar
como função da variável complexa .
Passo 2
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar o que cada símbolo significa, passo a passo.
Definição:
O que isso significa:
-
é a variável de tempo. -
é a variável complexa da transformada (normalmente escrevemos ). - A integral deve convergir (existir) para que a transformada faça sentido; isso impõe uma condição de convergência em
que será determinada abaixo.
Passo 3
Agora aplico a definição à nossa função
.
Substituindo na definição:
Combino os exponenciais (somando expoentes):
Para integrar, primeiro considero a integral com limite superior finito
:
A antiderivada de
em relação a
é
(desde que
). Calculando:
Agora fazemos
. Para que o termo
tenda a zero quando
é preciso que a parte real do expoente seja negativa, isto é
Sob essa condição o termo exponencial some no limite e obtemos
válido para
. Se
isso fica simplesmente
.
Se
a integral diverge e a transformada não existe nesse
.
Passo 4
Uma forma alternativa, por tabela/propriedade (útil na prova): sabe-se que
para
. Existe a propriedade de deslocamento no domínio de
:
onde
. Aplicando com
(portanto
) obtemos imediatamente
, com a mesma condição de convergência
.
Passo 5
Observações finais e exemplos para fixar:
- Para
a transformada é válida para . - Se
a região de convergência fica mais ampla (por exemplo, para é ). - Se
a expressão dá divisão por zero; de fato a integral diverge nesse caso. - Se
for complexo a mesma derivação vale, trocando por sua parte real na condição de convergência: .
Vai dar tudo certo na prova — lembra que essa transformada é uma das que aparecem sempre e é rápida de fazer usando a definição ou a propriedade de deslocamento!