Em cada item, calcule a transformada de Laplace da função (pode ser pela definição ou usando tabela)
f(t)=t^{2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função f(t)=t^{2}.
Informações dadas:
  • f(t)=t^{2} para t\ge 0.
  • Deve-se obter \mathcal{L}\{t^{2}\}(s) (pode ser pela definição ou por tabela).

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar o que cada símbolo significa, com calma:
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
Aqui:
  • t é a variável de tempo (variável real, t\ge 0).
  • s é a variável complexa em que a transformada é definida; para funções polinomiais multiplicadas por e^{-st} normalmente precisamos de \Re(s)>0 para garantir convergência. Na prática para nosso caso tomamos s>0.
  • A integral é imprópria porque o limite superior é infinito; então iremos verificar a convergência ao final.
Também vou usar a fórmula de integração por partes, que é muito útil. Ela diz que, para funções suficientemente suaves u(t) e v(t),
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Nessa fórmula:
  • escolhe-se u para ser uma parte que fica mais simples quando derivada;
  • escolhe-se dv para ser uma parte que dá uma primitives fácil ( v).

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso f(t)=t^{2}:
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt,
com a condição provisória s>0 (vamos justificar a necessidade disso ao avaliar os limites).
Para resolver essa integral vamos fazer integração por partes duas vezes. Primeiro passo: escolha
u=t^{2},\qquad dv=e^{-s t}\,dt.
Então
du=2t\,dt,\qquad v=\int e^{-s t}\,dt=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt = \left[-\frac{t^{2}}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty} + \frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt.

Passo 4

Avalio o termo de contorno \left[-\dfrac{t^{2}}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}. Preciso mostrar que o limite quando t\to\infty é zero (para s>0):
considere
\lim_{t\to\infty} \frac{t^{2}}{e^{s t}}.
Usando L’Hôpital (duas derivações no numerador/denominador) ou lembrando que exponencial domina polinômio, obtemos 0. Formalmente:
\lim_{t\to\infty} \frac{t^{2}}{e^{s t}} =\lim_{t\to\infty}\frac{2t}{s e^{s t}} =\lim_{t\to\infty}\frac{2}{s^{2} e^{s t}}=0.
Portanto
\left[-\frac{t^{2}}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}=0-0=0,
pois no t=0 também dá zero. Assim ficamos com
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt = \frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt.

Passo 5

Agora calcular \int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt. Repetimos integração por partes com
u=t,\qquad dv=e^{-s t}\,dt,
o que dá
du=dt,\qquad v=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
Aplicando:
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt = \left[-\frac{t}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
O termo de contorno \left[-\dfrac{t}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty} também vale 0 por razão similar à do passo anterior (exponencial vence polinomial). Restando:
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.

Passo 6

A integral \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt é uma integral geométrica/imprópria simples:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty} = 0 - \left(-\frac{1}{s}\right) = \frac{1}{s},
para s>0. Logo, voltando:
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s} = \frac{1}{s^{2}}.

Passo 7

Substituindo esse resultado no que obtivemos no Passo 4:
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt = \frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}} = \frac{2}{s^{3}}.
Portanto a transformada de Laplace existe e vale \dfrac{2}{s^{3}} para s>0.
Como observação útil para a prova: existe uma fórmula geral
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{\,n+1}}
para inteiro n\ge 0. Aplicando com n=2 \dfrac{2!}{s^{3}}=\dfrac{2}{s^{3}}, que bate com o resultado obtido por integração por partes.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}},\; s>0

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