Em cada item, calcule a transformada de Laplace da função (pode ser pela definição ou usando tabela)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
para . - Deve-se obter
(pode ser pela definição ou por tabela).
Passo 2
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar o que cada símbolo significa, com calma:
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
Aqui:
-
é a variável de tempo (variável real, ). -
é a variável complexa em que a transformada é definida; para funções polinomiais multiplicadas por normalmente precisamos de para garantir convergência. Na prática para nosso caso tomamos . - A integral é imprópria porque o limite superior é infinito; então iremos verificar a convergência ao final.
Também vou usar a fórmula de integração por partes, que é muito útil. Ela diz que, para funções suficientemente suaves
e
,
Nessa fórmula:
- escolhe-se
para ser uma parte que fica mais simples quando derivada; - escolhe-se
para ser uma parte que dá uma primitives fácil ( ).
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso
:
com a condição provisória
(vamos justificar a necessidade disso ao avaliar os limites).
Para resolver essa integral vamos fazer integração por partes duas vezes. Primeiro passo: escolha
Então
Aplicando integração por partes:
Passo 4
Avalio o termo de contorno
. Preciso mostrar que o limite quando
é zero (para
):
considere
considere
Usando L’Hôpital (duas derivações no numerador/denominador) ou lembrando que exponencial domina polinômio, obtemos
. Formalmente:
Portanto
pois no
também dá zero. Assim ficamos com
Passo 5
Agora calcular
. Repetimos integração por partes com
o que dá
Aplicando:
O termo de contorno
também vale
por razão similar à do passo anterior (exponencial vence polinomial). Restando:
Passo 6
A integral
é uma integral geométrica/imprópria simples:
para
. Logo, voltando:
Passo 7
Substituindo esse resultado no que obtivemos no Passo 4:
Portanto a transformada de Laplace existe e vale
para
.
Como observação útil para a prova: existe uma fórmula geral
para inteiro
. Aplicando com
dá
, que bate com o resultado obtido por integração por partes.