Use transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais:
O que se pede: encontrar a solução
usando a transformada de Laplace.
Informações importantes que temos:
Informações importantes que temos:
- A equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo fonte
. - Condições iniciais em
: e .
Passo 2
Vou explicar rapidamente as ferramentas que vou usar (aula rápida e prática).
Definição da transformada de Laplace: para uma função
(bem comportada),
onde
é a variável complexa do domínio transformado.
Propriedades que usaremos:
- Linearidade:
. - Transformada de derivadas (muito útil para PVI, pois incorpora as condições iniciais):
onde
. Aqui
e
são os dados iniciais que já temos.
- Transformadas conhecidas:
- Deslocamento exponencial: se
então
. Equivalente para a inversa: termos da forma e invertendo dão e , respectivamente.
Vou aplicar a transformada à equação, resolver algebricamente para
e em seguida aplicar a transformada inversa. É o método padrão e eficiente para PVI com condições em
.
Passo 3
Aplico
à equação
. Usando as fórmulas das derivadas e linearidade, obtemos:
Substituindo cada transformada:
Agora uso as condições iniciais
e
:
Passo 4
Faço as contas para coletar
. Expandindo:
Agrupando os termos com
e os termos constantes:
Isolando
:
Coloco o lado direito sobre um único denominador
:
Calculo o numerador:
Portanto
Observação:
, forma conveniente para inversão posteriormente.
Passo 5
Agora faço a decomposição em frações parciais. Como os denominadores são quadráticos irreduzíveis reais, uso a forma
onde
são constantes reais a determinar. Usei a forma com
no segundo numerador porque isso facilita a inversão em termos de
e
.
Passo 6
Multiplico ambos os lados pelo denominador comum e igualo numeradores:
Faço as expansões (passo a passo):
Somando:
Comparo coeficientes com o numerador
Resolvo o sistema com álgebra básica. De
. Substituo nas outras equações e resolvo as incógnitas; o cálculo dá:
(Se quiser, dá para checar substituindo de volta nas equações.)]
Passo 7
Com essas constantes, a decomposição fica:
Escrevo termo a termo para ver claramente as transformadas inversas conhecidas:
Passo 8
Agora aplico a transformada inversa termo a termo, usando as correspondências:
Aplicando:
Posso organizar (opcional) como
mas a forma somada fica mais direta para conferir os termos.
Passo 9
Verificação rápida das condições iniciais (confere se não houve erro):
- Em
:
ok.
- Derivando e avaliando em
(pode-se checar manualmente) obtém-se , portanto as condições iniciais são satisfeitas.