Em cada item, cite ao menos um exemplo explicitando o conjunto e a operação que definem a estrutura do grupo.
Um grupo finito e abeliano.

Passo 1

O enunciado pede: “Um grupo finito e abeliano.”
Informações/condições que eu devo atender:
  • Apresentar pelo menos um exemplo de estrutura que seja simultaneamente um grupo, finita e abeliana.
  • Para cada exemplo, explicitar o conjunto e a operação que definem a estrutura do grupo (ou seja, escrever o conjunto e a regra que combina dois elementos).
    A partir daqui vou mostrar exemplos concretos e provar, passo a passo, que cada um satisfaz as propriedades de grupo, que é finito e que a operação é comutativa.

Passo 2

O que significa cada termo (explicação didática curta, sem pular etapas):
  • Grupo: uma estrutura (G,\ast) onde G é um conjunto e \ast é uma operação binária em G tal que valem quatro propriedades:
    1. (Fechamento) Para todo x,y\in G, x\ast y\in G.
    2. (Associatividade) Para todo x,y,z\in G, (x\ast y)\ast z = x\ast (y\ast z).
    3. (Elemento neutro) Existe e\in G tal que, para todo x\in G, e\ast x = x \ast e = x.
    4. (Inversos) Para todo x\in G existe x^{-1}\in G tal que x\ast x^{-1} = x^{-1}\ast x = e.
  • Finito: o conjunto G tem número finito de elementos.
  • Abeliano (ou comutativo): além de ser grupo, para todo x,y\in G tem x\ast y = y\ast x.
Vou usar essas definições para verificar explicitamente os exemplos.

Passo 3

Exemplo 1 (o mais clássico): o grupo cíclico \mathbb{Z}_n com adição módulo n.
  • Conjunto: \mathbb{Z}_n = \{0,1,2,\dots,n-1\}, onde n é um inteiro natural com n\ge 1.
  • Operação: para a,b\in\mathbb{Z}_n definir a\oplus b \equiv a+b \pmod{n}.
Vou verificar as propriedades de grupo para (\mathbb{Z}_n,\oplus), mostrando também finitude e comutatividade.

Passo 4

Verificação das propriedades para \mathbb{Z}_n:
  • Fechamento: se a,b\in\{0,\dots,n-1\} então a+b é um inteiro; reduzido módulo n fica em \{0,\dots,n-1\}. Logo a\oplus b\in\mathbb{Z}_n.
  • Associatividade: a adição inteira é associativa, isto é, (a+b)+c = a+(b+c) para inteiros. Tomando as classes mod n essa associatividade passa para \oplus, portanto (a\oplus b)\oplus c = a\oplus (b\oplus c).
  • Elemento neutro: 0 (a classe de 0) satisfaz 0\oplus a = a\oplus 0 = a para todo a\in\mathbb{Z}_n.
  • Inversos: para cada a\in\mathbb{Z}_n o inverso é a' = (n-a)\bmod n (quando a=0 o inverso é 0). Então a\oplus a' \equiv a + (n-a) \equiv 0 \pmod{n}, ou seja, retorna o neutro.
  • Finito: \mathbb{Z}_n tem exatamente n elementos.
  • Comutatividade: a\oplus b \equiv a+b \equiv b+a \equiv b\oplus a. Portanto é abeliano.
Comentário prático: para n=6 temos \mathbb{Z}_6=\{0,1,2,3,4,5\} e, por exemplo, 4\oplus 5 \equiv 9\equiv 3\pmod{6}. Tudo dentro do conjunto e comuta.

Passo 5

Breve observação didática sobre por que essa é uma boa resposta de prova:
  • \mathbb{Z}_n é frequentemente o exemplo padrão de grupo finito e abeliano; é simples de descrever e fácil de verificar as propriedades elementares sem calculadora.
  • Na prova, se pedirem “dê um exemplo”, escrever o conjunto e a operação exatamente como fiz acima e mostrar rapidamente os itens (fechamento, neutro, inverso, comutatividade) garante pontos.

Passo 6

Exemplo 2 (um outro exemplo pequeno e muito usado): o grupo de Klein V_4.
  • Conjunto: V_4 = \{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}.
  • Operação: soma componente a componente módulo 2; isto é, para (a,b),(c,d)\in V_4 definir (a,b)\oplus (c,d) = \bigl(a+c \pmod{2},\; b+d \pmod{2}\bigr).
Agora verifico as propriedades rapidamente.

Passo 7

Verificação das propriedades para V_4:
  • Fechamento: a soma módulo 2 de cada componente é 0 ou 1, então o par resultante está em V_4.
  • Associatividade: a soma módulo 2 em cada componente é associativa (herdada da adição dos inteiros mod 2), portanto a operação em pares é associativa.
  • Elemento neutro: (0,0) é neutro, pois (0,0)\oplus (a,b)=(a,b).
  • Inversos: cada elemento é seu próprio inverso porque x+x\equiv 0\pmod{2}; por exemplo (1,0)\oplus(1,0)=(0,0).
  • Finito: V_4 tem 4 elementos.
  • Comutatividade: a soma componente a componente é comutativa, logo (a,b)\oplus(c,d)=(c,d)\oplus(a,b).
Comentário: V_4 é útil na prova porque é um exemplo de grupo finito abeliano que não é cíclico (não existe elemento de ordem 4 nele), então serve para mostrar variedade de estruturas.

Passo 8

Outras observações rápidas (úteis se pedirem alternativa na prova):
  • O grupo multiplicativo das raízes n-ésimas da unidade é finito e abeliano (ex.: \{1,-1\} com multiplicação é um grupo finito abeliano de ordem 2).
  • Se o enunciado pedir um exemplo explícito e simples, prefira \mathbb{Z}_n (escrever conjunto e operação) ou V_4 — ambos são fáceis de justificar rapidamente na prova.

Resposta

\mathbb{Z}_n=\{0,1,\dots,n-1\} com a operação a\oplus b\equiv a+b\pmod{n} (grupo finito de ordem n, abeliano).
\;V_4=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\} com (a,b)\oplus(c,d)=(a+c\pmod{2},\,b+d\pmod{2}) (grupo finito de ordem 4, abeliano).

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