Em cada item, cite ao menos um exemplo explicitando o conjunto e a operação que definem a estrutura do grupo.
Um grupo finito e abeliano.
Um grupo finito e abeliano.
Passo 1
O enunciado pede: “Um grupo finito e abeliano.”
Informações/condições que eu devo atender:
Informações/condições que eu devo atender:
- Apresentar pelo menos um exemplo de estrutura que seja simultaneamente um grupo, finita e abeliana.
- Para cada exemplo, explicitar o conjunto e a operação que definem a estrutura do grupo (ou seja, escrever o conjunto e a regra que combina dois elementos).
A partir daqui vou mostrar exemplos concretos e provar, passo a passo, que cada um satisfaz as propriedades de grupo, que é finito e que a operação é comutativa.
Passo 2
O que significa cada termo (explicação didática curta, sem pular etapas):
- Grupo: uma estrutura
onde é um conjunto e é uma operação binária em tal que valem quatro propriedades: - (Fechamento) Para todo
, . - (Associatividade) Para todo
, . - (Elemento neutro) Existe
tal que, para todo , . - (Inversos) Para todo
existe tal que .
- (Fechamento) Para todo
- Finito: o conjunto
tem número finito de elementos. - Abeliano (ou comutativo): além de ser grupo, para todo
tem .
Vou usar essas definições para verificar explicitamente os exemplos.
Passo 3
Exemplo 1 (o mais clássico): o grupo cíclico
com adição módulo
.
- Conjunto:
, onde é um inteiro natural com . - Operação: para
definir
Vou verificar as propriedades de grupo para
, mostrando também finitude e comutatividade.
Passo 4
Verificação das propriedades para
:
- Fechamento: se
então é um inteiro; reduzido módulo fica em . Logo . - Associatividade: a adição inteira é associativa, isto é,
para inteiros. Tomando as classes mod essa associatividade passa para , portanto . - Elemento neutro:
(a classe de ) satisfaz para todo . - Inversos: para cada
o inverso é (quando o inverso é ). Então , ou seja, retorna o neutro. - Finito:
tem exatamente elementos. - Comutatividade:
. Portanto é abeliano.
Comentário prático: para
temos
e, por exemplo,
. Tudo dentro do conjunto e comuta.
Passo 5
Breve observação didática sobre por que essa é uma boa resposta de prova:
-
é frequentemente o exemplo padrão de grupo finito e abeliano; é simples de descrever e fácil de verificar as propriedades elementares sem calculadora. - Na prova, se pedirem “dê um exemplo”, escrever o conjunto e a operação exatamente como fiz acima e mostrar rapidamente os itens (fechamento, neutro, inverso, comutatividade) garante pontos.
Passo 6
Exemplo 2 (um outro exemplo pequeno e muito usado): o grupo de Klein
.
- Conjunto:
. - Operação: soma componente a componente módulo
; isto é, para definir
Agora verifico as propriedades rapidamente.
Passo 7
Verificação das propriedades para
:
- Fechamento: a soma módulo
de cada componente é ou , então o par resultante está em . - Associatividade: a soma módulo
em cada componente é associativa (herdada da adição dos inteiros mod ), portanto a operação em pares é associativa. - Elemento neutro:
é neutro, pois . - Inversos: cada elemento é seu próprio inverso porque
; por exemplo . - Finito:
tem elementos. - Comutatividade: a soma componente a componente é comutativa, logo
.
Comentário:
é útil na prova porque é um exemplo de grupo finito abeliano que não é cíclico (não existe elemento de ordem
nele), então serve para mostrar variedade de estruturas.
Passo 8
Outras observações rápidas (úteis se pedirem alternativa na prova):
- O grupo multiplicativo das raízes
-ésimas da unidade é finito e abeliano (ex.: com multiplicação é um grupo finito abeliano de ordem ). - Se o enunciado pedir um exemplo explícito e simples, prefira
(escrever conjunto e operação) ou — ambos são fáceis de justificar rapidamente na prova.