Questão 03. Mostre, usando argumento vetoriais, que as coordenadas do ponto médio M do segmento de reta de extremidades A\left(x_{A}, y_{A}\right) e B\left(x_{B}, y_{B}\right) são dadas por M\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}, \frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right).
Passo 1
O enunciado fornece dois pontos do plano: A\left(x_{A},y_{A}\right) e B\left(x_{B},y_{B}\right).
A pergunta é: mostrar, usando argumentos vetoriais, que as coordenadas do ponto médio M do segmento de extremos A e B são
onde \vec{OA} é o vetor posição de A (ou seja, as coordenadas de A), e o mesmo para \vec{OB} e \vec{OM}.
Lembrete sobre operações vetoriais que usaremos:
A soma de vetores é feita componente a componente. Exemplo:
Estas regras valem no plano e são fáceis de aplicar sem calculadora.]
Passo 3
Definição vetorial de ponto médio: M é o ponto médio do segmento AB se e somente se M está em AB e divide o segmento em duas partes iguais. Em termos de vetores isso pode ser escrito como
\vec{AM}=\vec{MB}.
Agora escrevemos \vec{AM} e \vec{MB} em função dos vetores posição:
De fato, M(3,5) fica no meio do segmento entre A e B: a distância de A a M é igual à distância de M a B, confirmando geometricamente o resultado vetorial.