Questão 03. Mostre, usando argumento vetoriais, que as coordenadas do ponto médio M do segmento de reta de extremidades A\left(x_{A}, y_{A}\right) e B\left(x_{B}, y_{B}\right) são dadas por M\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}, \frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right).

Passo 1

O enunciado fornece dois pontos do plano: A\left(x_{A},y_{A}\right) e B\left(x_{B},y_{B}\right).
A pergunta é: mostrar, usando argumentos vetoriais, que as coordenadas do ponto médio M do segmento de extremos A e B são
M\!\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2},\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right).

Passo 2

Vamos traduzir pontos em vetores posição a partir de um ponto origem fixo O. Definir:
\vec{OA}=\begin{pmatrix}x_{A}\\[4pt]y_{A}\end{pmatrix},\qquad \vec{OB}=\begin{pmatrix}x_{B}\\[4pt]y_{B}\end{pmatrix},\qquad \vec{OM}=\begin{pmatrix}x_{M}\\[4pt]y_{M}\end{pmatrix},
onde \vec{OA} é o vetor posição de A (ou seja, as coordenadas de A), e o mesmo para \vec{OB} e \vec{OM}.
Lembrete sobre operações vetoriais que usaremos:
  • A soma de vetores é feita componente a componente. Exemplo:
\begin{pmatrix}u_1\u_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_1+v_1\u_2+v_2\end{pmatrix}.
  • A multiplicação por escalar também é componente a componente:
\lambda\begin{pmatrix}u_1\u_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda u_1\\lambda u_2\end{pmatrix}.
Estas regras valem no plano e são fáceis de aplicar sem calculadora.]

Passo 3

Definição vetorial de ponto médio: M é o ponto médio do segmento AB se e somente se M está em AB e divide o segmento em duas partes iguais. Em termos de vetores isso pode ser escrito como
\vec{AM}=\vec{MB}.
Agora escrevemos \vec{AM} e \vec{MB} em função dos vetores posição:
\vec{AM}=\vec{OM}-\vec{OA},\qquad \vec{MB}=\vec{OB}-\vec{OM}.
Igualando:
\vec{OM}-\vec{OA}=\vec{OB}-\vec{OM}.

Passo 4

Resolver a equação vetorial obtida. Somando \vec{OM} em ambos os lados e adicionando \vec{OA} em ambos os lados, chega-se a
2\vec{OM}=\vec{OA}+\vec{OB}.
Dividindo por 2 (multiplicação por escalar inverso) obtemos a expressão para o vetor posição de M:
\vec{OM}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}.
Este passo usa apenas as propriedades lineares dos vetores: adição e multiplicação por escalar.

Passo 5

Passar da igualdade vetorial para coordenadas. Substituindo as coordenadas de \vec{OA} e \vec{OB}:
\vec{OA}+\vec{OB}=\begin{pmatrix}x_{A}\\[4pt]y_{A}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_{B}\\[4pt]y_{B}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_{A}+x_{B}\\[4pt]y_{A}+y_{B}\end{pmatrix}.
Dividindo por 2,
\vec{OM}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}x_{A}+x_{B}\\[4pt]y_{A}+y_{B}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}\\[8pt]\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\end{pmatrix}.
Portanto as coordenadas de M são exatamente \left(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2},\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\right).]

Passo 6

Pequena checagem numérica (exemplo concreto para fixar a ideia): se A(1,3) e B(5,7), então
M\left(\dfrac{1+5}{2},\dfrac{3+7}{2}\right)=M(3,5).
De fato, M(3,5) fica no meio do segmento entre A e B: a distância de A a M é igual à distância de M a B, confirmando geometricamente o resultado vetorial.

Resposta

M\!\left(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2},\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)

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