Sejam vec{u}, \vec{v} e vec{w} vetores. Em cada caso, determinar a e b tal que a \vec{u}+b \vec{v}=\vec{w}.
vec{u}=(5,2), \vec{v}=(-3,1) e vec{w}=(-1,15).

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar os escalares a e b tais que
a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{w}.
Informações dadas:
\vec{u}=(5,2),\qquad \vec{v}=(-3,1),\qquad \vec{w}=(-1,15).

Passo 2

Entendendo a ideia (explicação didática): para vetores em \mathbb{R}^2 igualar duas somas significa igualar as componentes correspondentes. Se
a\vec{u}+b\vec{v}=(x,y),
então a primeira componente vem de combinar as primeiras componentes de \vec{u} e \vec{v}, e a segunda componente vem de combinar as segundas componentes. Portanto vamos transformar o problema em um sistema de duas equações lineares nas incógnitas a e b.

Passo 3

Construindo o sistema a partir da igualdade de componentes:
a primeira componente dá
5a-3b=-1
e a segunda componente dá
2a+b=15.

Passo 4

Escolhendo um método para resolver (explicação didática): aqui temos um sistema 2\times2, o que é simples de resolver por eliminação ou substituição. Vou usar substituição porque a segunda equação já isola b de forma direta.
Da segunda equação isolamos b:
b=15-2a.

Passo 5

Substituindo b na primeira equação e resolvendo para a:
5a-3(15-2a)=-1
Calcule o parêntese:
5a-45+6a=-1
Some os termos em a:
11a-45=-1
Isolando a:
11a=44
a=4.

Passo 6

Agora calcule b usando b=15-2a:
b=15-2\cdot4
b=15-8
b=7.

Passo 7

Verificação (sempre verifique nas provas): calcular diretamente a combinação para checar se volta \vec{w}.
4\vec{u}+7\vec{v}=4(5,2)+7(-3,1)
=(20,8)+(-21,7)
=(-1,15),
que coincide com \vec{w}. Está correto.

Resposta

a=4
b=7

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