Em cada item, cite ao menos um exemplo explicitando o conjunto e a operação que definem a estrutura do grupo.
Um grupo finito e não abeliano.
Um grupo finito e não abeliano.
Passo 1
O enunciado pede: citar ao menos um exemplo que seja um grupo finito e não abeliano, explicitando o conjunto e a operação que definem a estrutura do grupo.
Informações relevantes do enunciado (o que preciso entregar):
Informações relevantes do enunciado (o que preciso entregar):
- Deve ser um grupo.
- Deve ser finito.
- Deve ser não abeliano (ou seja, a operação não é comutativa).
- É necessário explicitar o conjunto e qual é a operação que define o grupo.
Passo 2
O que é preciso para mostrar que algo é um grupo (lembrete didático e passo a passo das axiomas). Vou explicar de forma bem clara e sem pular etapas:
- Fecho: dado o conjunto
e a operação , para todo o elemento deve pertencer a . Em palavras: fechar sob a operação significa que aplicar a operação entre dois elementos do conjunto não sai do conjunto. - Associatividade: para todo
vale . Aqui não importa a maneira de agrupar as operações. Para grupos construídos por composição de funções (como permutações), essa propriedade já vem “de fábrica” porque composição de funções é associativa. - Identidade: existe
tal que, para todo , . Esse é o elemento neutro. - Inversos: para todo
existe tal que .
Para mostrar que algo é um grupo basta verificar esses quatro pontos. Além disso: - Finito significa que o conjunto
tem número finito de elementos (ordem finita). - Não abeliano significa que existem
tais que .
Passo 3
Escolhi usar permutações porque são um exemplo clássico, simples de descrever e muito usado em provas. A operação será composição de permutações (ou seja, aplicar uma permutação e depois a outra). Vou explicar ciclo a ciclo e mostrar explicitamente a não comutatividade com contas passo a passo, como se estivesse escrevendo na prova.
Passo 4
Apresentação do exemplo escolhido (conjunto e operação): o grupo simétrico sobre três elementos.
Definição explícita: o conjunto é
Definição explícita: o conjunto é
onde:
-
é a permutação identidade que deixa fixos (às vezes escrita como ). -
é a transposição que troca e e deixa fixo, e assim por diante.
A operação é a composição de permutações: dado, significa aplicar primeiro e depois . Para encurtar, escrevo para (convenção padrão em teoria de grupos).
Passo 5
Lista dos elementos com explicação curta do que cada um faz (para ficar bem concreto):
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Passo 6
Verificação dos axiomas do grupo para
(mostrando por que é um grupo):
- Fecho: a composição de duas permutações de
é outra permutação de , logo o resultado fica em . (Isto é óbvio pois permutações compõem para permutações.) - Associatividade: composição de funções é associativa, então para
vale . Não é necessário calcular caso a caso. - Identidade:
é o elemento neutro, pois para todo . - Inversos: cada permutação tem inversa que também é uma permutação em
. Exemplos: (transposição é sua própria inversa), .
Portantocom composição é um grupo.
Passo 7
Mostrando que
é finito e não abeliano, com cálculo explícito (isso é o que o professor normalmente pede: um par de elementos que não comutam, com contas passo a passo).
- Finito: o conjunto listado acima tem exatamente
elementos, então . - Não abeliano: preciso encontrar
tais que . Vou escolher e e calcular e usando a convenção = primeiro aplicar , depois .
Cálculo de
com detalhes:
-
e então , logo . -
e , logo . -
e , logo .
Portantoenvia , ou seja .
Cálculo de
com detalhes:
-
e , logo . -
e , logo . -
e , logo .
Portantoenvia , ou seja .
Como
, temos
. Logo a operação não é comutativa e
é não abeliano.
Passo 8
Resumo e interpretação prática (para a prova): para responder a questão peça-se um exemplo com conjunto e operação; basta escrever algo do tipo “o conjunto é
(lista dos elementos) e a operação é a composição de permutações”, e em seguida justificar rapidamente que é grupo (fecho, identidade, inversos, associatividade) e mostrar dois elementos que não comutam (como fiz acima). Isso resolve a questão na prova de forma limpa e completa.
Resposta
Um exemplo:
com a operação “composição de permutações”. Esse grupo é finito (ordem
) e não abeliano (por exemplo,
).