Em cada item, cite ao menos um exemplo explicitando o conjunto e a operação que definem a estrutura do grupo.
Um grupo finito e não abeliano.

Passo 1

O enunciado pede: citar ao menos um exemplo que seja um grupo finito e não abeliano, explicitando o conjunto e a operação que definem a estrutura do grupo.
Informações relevantes do enunciado (o que preciso entregar):
  • Deve ser um grupo.
  • Deve ser finito.
  • Deve ser não abeliano (ou seja, a operação não é comutativa).
  • É necessário explicitar o conjunto e qual é a operação que define o grupo.

Passo 2

O que é preciso para mostrar que algo é um grupo (lembrete didático e passo a passo das axiomas). Vou explicar de forma bem clara e sem pular etapas:
  • Fecho: dado o conjunto G e a operação *, para todo x,y\in G o elemento x*y deve pertencer a G. Em palavras: fechar sob a operação significa que aplicar a operação entre dois elementos do conjunto não sai do conjunto.
  • Associatividade: para todo x,y,z\in G vale (x*y)*z = x*(y*z). Aqui não importa a maneira de agrupar as operações. Para grupos construídos por composição de funções (como permutações), essa propriedade já vem “de fábrica” porque composição de funções é associativa.
  • Identidade: existe e\in G tal que, para todo x\in G, e*x = x*e = x. Esse e é o elemento neutro.
  • Inversos: para todo x\in G existe x^{-1}\in G tal que x*x^{-1}=x^{-1}*x=e.
    Para mostrar que algo é um grupo basta verificar esses quatro pontos. Além disso:
  • Finito significa que o conjunto G tem número finito de elementos (ordem finita).
  • Não abeliano significa que existem a,b\in G tais que a*b \neq b*a.

Passo 3

Escolhi usar permutações porque são um exemplo clássico, simples de descrever e muito usado em provas. A operação será composição de permutações (ou seja, aplicar uma permutação e depois a outra). Vou explicar ciclo a ciclo e mostrar explicitamente a não comutatividade com contas passo a passo, como se estivesse escrevendo na prova.

Passo 4

Apresentação do exemplo escolhido (conjunto e operação): o grupo simétrico sobre três elementos.
Definição explícita: o conjunto é
S_3=\{\text{id},\,(12),\,(13),\,(23),\,(123),\,(132)\},
onde:
  • \text{id} é a permutação identidade que deixa 1,2,3 fixos (às vezes escrita como ()).
  • (12) é a transposição que troca 1 e 2 e deixa 3 fixo, e assim por diante.
    A operação é a composição de permutações: dado p,q\in S_3, p\circ q significa aplicar q primeiro e depois p. Para encurtar, escrevo pq para p\circ q (convenção padrão em teoria de grupos).

Passo 5

Lista dos elementos com explicação curta do que cada um faz (para ficar bem concreto):
  • \text{id}=() : 1\mapsto1,\;2\mapsto2,\;3\mapsto3.
  • (12) : 1\mapsto2,\;2\mapsto1,\;3\mapsto3.
  • (13) : 1\mapsto3,\;3\mapsto1,\;2\mapsto2.
  • (23) : 2\mapsto3,\;3\mapsto2,\;1\mapsto1.
  • (123) : 1\mapsto2,\;2\mapsto3,\;3\mapsto1.
  • (132) : 1\mapsto3,\;3\mapsto2,\;2\mapsto1.

Passo 6

Verificação dos axiomas do grupo para S_3 (mostrando por que é um grupo):
  • Fecho: a composição de duas permutações de \{1,2,3\} é outra permutação de \{1,2,3\}, logo o resultado fica em S_3. (Isto é óbvio pois permutações compõem para permutações.)
  • Associatividade: composição de funções é associativa, então para p,q,r\in S_3 vale (pq)r = p(qr). Não é necessário calcular caso a caso.
  • Identidade: \text{id} é o elemento neutro, pois \text{id}\,p = p\,\text{id} = p para todo p\in S_3.
  • Inversos: cada permutação tem inversa que também é uma permutação em S_3. Exemplos: (12)^{-1}=(12) (transposição é sua própria inversa), (123)^{-1}=(132).
    Portanto S_3 com composição é um grupo.

Passo 7

Mostrando que S_3 é finito e não abeliano, com cálculo explícito (isso é o que o professor normalmente pede: um par de elementos que não comutam, com contas passo a passo).
  • Finito: o conjunto listado acima tem exatamente 6 elementos, então |S_3|=6.
  • Não abeliano: preciso encontrar a,b\in S_3 tais que ab\neq ba. Vou escolher a=(12) e b=(123) e calcular ab e ba usando a convenção ab = primeiro aplicar b, depois a.
Cálculo de ab com detalhes:
  • b(1)=2 e então a(b(1))=a(2)=1, logo (ab)(1)=1.
  • b(2)=3 e a(b(2))=a(3)=3, logo (ab)(2)=3.
  • b(3)=1 e a(b(3))=a(1)=2, logo (ab)(3)=2.
    Portanto ab envia 1\mapsto1,\;2\mapsto3,\;3\mapsto2, ou seja ab=(23).
Cálculo de ba com detalhes:
  • a(1)=2 e b(a(1))=b(2)=3, logo (ba)(1)=3.
  • a(2)=1 e b(a(2))=b(1)=2, logo (ba)(2)=2.
  • a(3)=3 e b(a(3))=b(3)=1, logo (ba)(3)=1.
    Portanto ba envia 1\mapsto3,\;2\mapsto2,\;3\mapsto1, ou seja ba=(13).
Como (23)\neq(13), temos ab\neq ba. Logo a operação não é comutativa e S_3 é não abeliano.

Passo 8

Resumo e interpretação prática (para a prova): para responder a questão peça-se um exemplo com conjunto e operação; basta escrever algo do tipo “o conjunto é S_3 (lista dos elementos) e a operação é a composição de permutações”, e em seguida justificar rapidamente que é grupo (fecho, identidade, inversos, associatividade) e mostrar dois elementos que não comutam (como fiz acima). Isso resolve a questão na prova de forma limpa e completa.

Resposta

Um exemplo: S_3=\{\text{id},\,(12),\,(13),\,(23),\,(123),\,(132)\} com a operação “composição de permutações”. Esse grupo é finito (ordem 6) e não abeliano (por exemplo, (12)(123)=(23)\neq(13)=(123)(12)).

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