Em cada item, determine uma base e a dimensão do subespaço vetorial W de V.
V=R^4 e W=[(1,0,0),(0,5,-2),(7,0,2),(3, pi, 2)].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço Wsubseteq V gerado pelos vetores
v1=(1,0,0),; v2=(0,5,-2),; v3=(7,0,2),; v4=(3,pi,2)
O conteúdo envolvido é o cálculo de posto (rank) de um conjunto de vetores em R^3, usando eliminação de Gauss para descobrir quais são linearmente independentes.

Passo 2

Organizamos esses vetores como colunas da matriz
A = 1 & 0 & 7 & 3 0 & 5 & 0 & pi 0 & -2 & 2 & 2
e aplicamos eliminação de Gauss para levar A à forma escalonada e identificar as colunas-pivô.

Passo 3

Começando com
1 & 0 & 7 & 3 0 & 5 & 0 & pi 0 & -2 & 2 & 2 ,
usamos a segunda linha para zerar o -2 da terceira linha:
L3 L3 + 25L2 ;Longrightarrow; 1 & 0 & 7 & 3 0 & 5 & 0 & pi 0 & 0 & 2 & tfrac10+2pi5
Agora já vemos pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Como só há três linhas, o posto de A é 3.

Passo 4

As colunas-pivô são as de índices 1,2,3, portanto os vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes e geram todo W. Logo
,v1,v2,v3 =(1,0,0),,(0,5,-2),,(7,0,2)
é uma base de W e
dim(W)=3

Resposta

Uma base de W é
(1,0,0),;(0,5,-2),;(7,0,2),
e dim(W)=3.

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