Em cada item, determine uma base e a dimensão do subespaço vetorial W de V.
V=M2(R) e W=(ccx & y z & w) in V ; x-y+z=0.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=M2(R) e o subespaço
W = lx & y z & win V mid x - y + z = 0r
Queremos encontrar uma base de W e sua dimensão. Aqui o conteúdo é resolver a restrição linear x - y + z=0 entre as coordenadas dos vetores em V.

Passo 2

Escrevemos um elemento genérico de W como
x & y z & w
sujeito a
x - y + z = 0
Isso permite expressar x em função de y e z:
x = y - z

Passo 3

Como nos sobra liberdade em escolher y, z e w, definimos parâmetros
s = y, t = z, u = w
Então qualquer matriz de W pode ser escrita
x & y z & w = s - t & s t & u

Passo 4

Agora escrevemos a matriz acima como combinação linear de três matrizes “canônicas”:
s - t & s t & u = s1 & 1 0 & 0 + t-1 & 0 1 & 0 + u0 & 0 0 & 1
Isso mostra que
l,1 & 1 0 & 0,; -1 & 0 1 & 0,; 0 & 0 0 & 1r
gera W.

Passo 5

Verificamos que essas três matrizes são linearmente independentes (nenhuma é combinação das outras). Logo elas formam uma base de W. Como temos três vetores na base,
dim(W) = 3

Resposta

Uma base de W é
, 1 & 1 0 & 0,; -1 & 0 1 & 0,; 0 & 0 0 & 1 ,
e dim(W)=3.

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