Considere os vetores de dados a seguir:
Determine se possível, os valores de e para que cada item abaixo seja verdadeiro.
a) é L.I.
b) é L.I.
c) é L.I.

Passo 1

O enunciado nos dá quatro matrizes de M2(R), que podemos identificar com vetores em R^4 pela ordem (a11,a12,a21,a22). Assim
v1=(1,2,0,0), v2=(2,x,-1,0), v3=(-1,-2,y,2), v4=(2,4,2y,z)
Queremos achar as condições sobre x,y,z para que cada conjunto seja linearmente independente (L.I.), usando a definição de independência e, no caso de dois vetores, checando se um é múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Item (a): v1,v4 é L.I. se e só se não existir escalar k tal que v4=k,v1.
Comparando coordenadas:
2=kcdot1implies k=2, 4=kcdot2implies 4=4 (ok),
2y=kcdot0implies 2y=0implies y=0, z=kcdot0implies z=0
Logo v4=2,v1 ocorre exatamente se y=0 e z=0. Para ter independência basta evitar esse caso.

Passo 3

Item (b): v1,v2 é L.I. se não existir escalar k com v2=k,v1.
Da primeira coordenada 2=kcdot1implies k=2. Então da terceira coordenada teríamos -1=kcdot0implies -1=0, impossível.
Portanto não há nenhum k que faça v2 múltiplo de v1, e o par é L.I. para todo xinR.

Passo 4

Item (c): v1,v2,v3 é L.I. se a única solução do sistema
a,v1+b,v2+c,v3=0
for a=b=c=0. Pelas coordenadas:
  1. a+2b-c=0
  2. 2a+b,x-2c=0
  3. -b+c,y=0
  4. 0+0+2c=0implies c=0.
    Dessa última vem c=0, daí 3) dá b=0 e então 1) dá a=0. Sempre só a solução trivial, independentemente de x,y.

Resposta

a) v1,v4 é L.I. se e só se (y,z)neq(0,0).
b) v1,v2 é L.I. para todo xinR.
c) v1,v2,v3 é L.I. para todos x,yinR.

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