Considere os vetores de
dados a seguir:
Determine se possível, os valores de
e
para que cada item abaixo seja verdadeiro.
a)
é L.I.
b)
é L.I.
c)
é L.I.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado nos dá quatro matrizes de
, que podemos identificar com vetores em
pela ordem
. Assim
Queremos achar as condições sobre
para que cada conjunto seja linearmente independente (L.I.), usando a definição de independência e, no caso de dois vetores, checando se um é múltiplo escalar do outro.
Passo 2
Item (a):
é L.I. se e só se não existir escalar
tal que
.
Comparando coordenadas:
Comparando coordenadas:
Logo
ocorre exatamente se
e
. Para ter independência basta evitar esse caso.
Passo 3
Item (b):
é L.I. se não existir escalar
com
.
Da primeira coordenada . Então da terceira coordenada teríamos
, impossível.
Portanto não há nenhum que faça
múltiplo de
, e o par é L.I. para todo
.
Da primeira coordenada
Portanto não há nenhum
Passo 4
Item (c):
é L.I. se a única solução do sistema
for
. Pelas coordenadas:
-
-
-
-
.
Dessa última vem, daí 3) dá e então 1) dá . Sempre só a solução trivial, independentemente de .
Resposta
a)
é L.I. se e só se
.
b) é L.I. para todo
.
c) é L.I. para todos
.
b)
c)