Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f. Sugestão. Utilize o exercício \mathbf{C 1 .}
Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
f(x, y, z)=\ln (x+2 y+3 z), P=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y,z)=\ln\bigl(x+2y+3z\bigr)
no ponto P=(1,1,1).
O conteúdo principal é a Regra da Cadeia para derivadas de funções compostas: se f=\ln(U) então \partial_i f = U_i/U e depois derivamos essas parciais de novo para obter as segundas ordens.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Seja
U(x,y,z)=x+2y+3z,
então
U_x=1,\quad U_y=2,\quad U_z=3.
Pela Regra da Cadeia,
f_x=\frac{U_x}{U}=\frac{1}{x+2y+3z},\quad f_y=\frac{U_y}{U}=\frac{2}{x+2y+3z},\quad f_z=\frac{U_z}{U}=\frac{3}{x+2y+3z}.

Passo 3

Agora derivamos cada uma dessas parciais em relação a x,y,z. Como f_i = U_i\,U^{-1}, temos
\partial_j f_i =\partial_j\Bigl(U_i\,U^{-1}\Bigr) =U_i\cdot(-1)\,U^{-2}\,U_j =-\frac{U_i\,U_j}{(x+2y+3z)^2}.
Logo as segundas derivadas gerais são
f_{xx}=-\frac{1\cdot1}{(x+2y+3z)^2},\quad f_{xy}=-\frac{1\cdot2}{(x+2y+3z)^2},\quad f_{xz}=-\frac{1\cdot3}{(x+2y+3z)^2},
f_{yy}=-\frac{2\cdot2}{(x+2y+3z)^2},\quad f_{yz}=-\frac{2\cdot3}{(x+2y+3z)^2},\quad f_{zz}=-\frac{3\cdot3}{(x+2y+3z)^2}.

Passo 4

No ponto P=(1,1,1) temos x+2y+3z=1+2+3=6. Substituindo em cada fórmula:
f_{xx}(P)=-\frac{1}{6^2}=-\frac{1}{36},\quad f_{xy}(P)=-\frac{2}{6^2}=-\frac{2}{36}=-\frac{1}{18},\quad f_{xz}(P)=-\frac{3}{6^2}=-\frac{3}{36}=-\frac{1}{12},
f_{yy}(P)=-\frac{4}{6^2}=-\frac{4}{36}=-\frac{1}{9},\quad f_{yz}(P)=-\frac{6}{6^2}=-\frac{6}{36}=-\frac{1}{6},\quad f_{zz}(P)=-\frac{9}{6^2}=-\frac{9}{36}=-\frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle f_{xx}(P)=-\tfrac{1}{36},\quad f_{xy}(P)=-\tfrac{1}{18},\quad f_{xz}(P)=-\tfrac{1}{12},\quad f_{yy}(P)=-\tfrac{1}{9},\quad f_{yz}(P)=-\tfrac{1}{6},\quad f_{zz}(P)=-\tfrac{1}{4}.

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