Considere a função f(x, y)=x^{2}+2 x y-3 y^{2} e a parametrização x(u, v)=u^{2}-v^{2} e y(u, v)=u v.
(a) Calcule as derivadas parciais de f.
(b) Use a regra da cadeia para calcular \partial f / \partial u e \partial f / \partial v em termos das variáveis originais e de u e v.
(c) Determine f(u, v).
(d) Calcule \partial f / \partial u e \partial f / \partial v a partir do item anterior.
(e) Substitua os valores de x e y pelas suas expressões em u e v na resposta to item (b) e verifique que a resposta é a mesma do item (d).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}+2xy-3y^{2}
e a parametrização
x(u,v)=u^{2}-v^{2},\quad y(u,v)=u\,v.
Pede: (a) as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y; (b) aplicar a regra da cadeia para \partial f/\partial u e \partial f/\partial v em termos de x,y,u,v; (c) obter f em função de u,v; (d) calcular diretamente \partial f/\partial u e \partial f/\partial v de f(u,v); (e) mostrar que os resultados de (b) e (d) coincidem. O conteúdo principal é derivadas parciais e regra da cadeia.

Passo 2

Calculamos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+2xy-3y^{2}\bigr) =2x+2y,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+2xy-3y^{2}\bigr) =2x-6y.

Passo 3

A regra da cadeia diz:
\frac{\partial f}{\partial u} =\frac{\partial f}{\partial x}\,x_{u}+\frac{\partial f}{\partial y}\,y_{u}, \quad \frac{\partial f}{\partial v} =\frac{\partial f}{\partial x}\,x_{v}+\frac{\partial f}{\partial y}\,y_{v}.
Como
x_{u}=2u,\;x_{v}=-2v,\;y_{u}=v,\;y_{v}=u,
temos
\frac{\partial f}{\partial u} =(2x+2y)\,2u+(2x-6y)\,v,
\frac{\partial f}{\partial v} =(2x+2y)\,(-2v)+(2x-6y)\,u.

Passo 4

Substituímos em f(x,y) as expressões de x e y:
f(u,v) =(u^{2}-v^{2})^{2} +2\,(u^{2}-v^{2})\,(u\,v) -3\,(u\,v)^{2}.
Expandindo,
f(u,v) =u^{4}-2u^{2}v^{2}+v^{4} +2u^{3}v-2u\,v^{3} -3u^{2}v^{2},
f(u,v) =u^{4}+2u^{3}v-5u^{2}v^{2}-2u\,v^{3}+v^{4}.

Passo 5

Derivamos diretamente em relação a u e a v:
\frac{\partial f}{\partial u} =4u^{3}+6u^{2}v-10u\,v^{2}-2v^{3},
\frac{\partial f}{\partial v} =2u^{3}-10u^{2}v-6u\,v^{2}+4v^{3}.

Passo 6

Substituindo x=u^{2}-v^{2} e y=u\,v nas fórmulas do Passo 3 obtém-se exatamente as mesmas expressões do Passo 5.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial u} =4u^{3}+6u^{2}v-10u\,v^{2}-2v^{3}, \quad \frac{\partial f}{\partial v} =2u^{3}-10u^{2}v-6u\,v^{2}+4v^{3},
e elas coincidem pelo teorema da cadeia.

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