Considere a função
e a parametrização
e
.
(a) Calcule as derivadas parciais de
.
(b) Use a regra da cadeia para calcular
e
em termos das variáveis originais e de
e
.
(c) Determine
.
(d) Calcule
e
a partir do item anterior.
(e) Substitua os valores de
e
pelas suas expressões em
e
na resposta to item (b) e verifique que a resposta é a mesma do item (d).
(a) Calcule as derivadas parciais de
(b) Use a regra da cadeia para calcular
(c) Determine
(d) Calcule
(e) Substitua os valores de
Passo 1
O enunciado dá a função
e a parametrização
Pede: (a) as derivadas parciais
e
; (b) aplicar a regra da cadeia para
e
em termos de
; (c) obter
em função de
; (d) calcular diretamente
e
de
; (e) mostrar que os resultados de (b) e (d) coincidem. O conteúdo principal é derivadas parciais e regra da cadeia.
Passo 2
Calculamos
Passo 3
A regra da cadeia diz:
Como
temos
Passo 4
Substituímos em
as expressões de
e
:
Expandindo,
Passo 5
Derivamos diretamente em relação a
e a
:
Passo 6
Substituindo
e
nas fórmulas do Passo 3 obtém-se exatamente as mesmas expressões do Passo 5.
Resposta
e elas coincidem pelo teorema da cadeia.