Em cada item, determine o máximo e o mínimo absolutos da função f na região R. Sugestão. Estas funções já apareceram no exercício C1.
f(x, y)=4 x+6 y-x^{2}-y^{2}, R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 4 \mathrm{e} 0 \leq y \leq 5\right\}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=4x+6y-x^{2}-y^{2}
sobre o retângulo fechado
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0\le x\le4,\;0\le y\le5\}.
Para achar máximos e mínimos absolutos em região fechada, a gente faz 1) busca os pontos críticos na parte interna de R, 2) examina as fronteiras (aqui são quatro arestas) e 3) compara todos os valores de f.

Passo 2

Procuramos pontos críticos resolvendo \nabla f=0.
\displaystyle f_x=4-2x=0 x=2.
\displaystyle f_y=6-2y=0 y=3.
Logo só há um crítico interno: (2,3).

Passo 3

Avaliamo-lo em f:
f(2,3)=4\cdot2+6\cdot3-2^{2}-3^{2}=8+18-4-9=13.

Passo 4

Analisamos as arestas x=0 e x=4 com y\in[0,5].
Para x=0:
f(0,y)=6y-y^{2},\quad \frac{d}{dy}(6y-y^{2})=6-2y=0\implies y=3.
Valores:
\,f(0,3)=18-9=9,\;f(0,0)=0,\;f(0,5)=30-25=5.
Para x=4:
f(4,y)=16+6y-16-y^{2}=6y-y^{2},
mesma derivada, mesmo crítico y=3.
Valores:
\,f(4,3)=9,\;f(4,0)=0,\;f(4,5)=5.

Passo 5

Agora as arestas y=0 e y=5 com x\in[0,4].
Para y=0:
f(x,0)=4x-x^{2},\quad \frac{d}{dx}(4x-x^{2})=4-2x=0\implies x=2.
Valores:
\,f(2,0)=8-4=4,\;f(0,0)=0,\;f(4,0)=0.
Para y=5:
f(x,5)=4x+30-x^{2}-25=-x^{2}+4x+5,\quad \frac{d}{dx}=-2x+4=0\implies x=2.
Valores:
\,f(2,5)=-4+8+5=9,\;f(0,5)=5,\;f(4,5)=5.

Passo 6

Reunindo todas as avaliações temos
\,f(2,3)=13 (interno),
valores maiores ao longo das arestas dão até 9,
e o menor que apareceu foi 0.
Logo o máximo absoluto é 13 e o mínimo absoluto é 0.

Resposta

Máximo absoluto: f(2,3)=13.
Mínimo absoluto: f(0,0)=0 e f(4,0)=0.

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