Considere a função: f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2}-4}{x-2} & , x<2 \\\ a x^{2}-b x+3 & , 2 \leq x<3 \\\\ 2 x-a+b & , x \geq 3\end{array}\right.
a) (1,0) Determine os valores de a e b que tornam f contínua em todo seu domínio;
b) (1,0) Considere a função definida com os respectivos valores de a e b, encontrados no item (i). Determine a derivada de f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}-4}{x-2},&x<2,\\[1em] a\,x^{2}-b\,x+3,&2\le x<3,\\[0.5em] 2\,x-a+b,&x\ge3, \end{cases}
e pede (a) os valores de a e b para que f seja contínua em todo domínio, e (b) a derivada de f usando esses valores. Para (a) precisamos impor continuidade em x=2 e x=3. Para (b) basta derivar cada ramo e verificar o que ocorre em 2 e em 3.]

Passo 2

Continuidade em x=2:
- Limite pela esquerda: para x<2, \frac{x^2-4}{x-2}=(x-2)(x+2)/(x-2)=x+2. Logo
\lim_{x\to2^-}f(x)=2+2=4.
- Valor em x=2: no segundo ramo é
f(2)=a\cdot2^2 - b\cdot2 +3 =4a -2b +3.
Impor 4a-2b+3=4 dá a equação
4a - 2b =1.

Passo 3

Continuidade em x=3\): \- Valor pelo ramo do meio em \(x=3\): \[f(3^-)=a\cdot3^2 - b\cdot3 +3 =9a -3b +3.
- Valor pelo ramo de x\ge3 em x=3:
f(3^+)=2\cdot3 - a + b =6 - a + b.
Impor 9a-3b+3 = 6 - a + b leva a
10a - 4b =3.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} 4a -2b =1,\\\\ 10a -4b =3, \end{cases}
multiplicando a primeira por 2 obtém-se 8a-4b=2\]. Subtraindo de \(10a-4b=3 vem 2a=1, ou seja
a=\tfrac12,\quad b=\tfrac12.

Passo 4

Com a=b=\tfrac12 simplificam-se os ramos:
- Para x<2: f(x)=x+2.
- Para 2\le x<3:
f(x)=\tfrac12\,x^2 - \tfrac12\,x +3.
- Para x\ge3:
f(x)=2x - \tfrac12 + \tfrac12 =2x.

Passo 5

Agora derivamos ramo a ramo:
- Se x<2, f(x)=x+2 e
f'(x)=1.
- Se 2<x<3, f(x)=\tfrac12x^2 - \tfrac12x +3 e
f'(x)=x - \tfrac12.
- Se x>3, f(x)=2x e
f'(x)=2.
Em x=2 a derivada pela esquerda vale 1 e pela direita 2 - \tfrac12|_{x=2}= \tfrac32, logo não coincide. Em x=3 a derivada pela esquerda vale 3 - \tfrac12=\tfrac52 e pela direita vale 2, também não coincide. Portanto f não é diferenciável em x=2 nem em x=3.

Resposta

a) a=\tfrac12\), \(b=\tfrac12\). b) \[f'(x)= \begin{cases} 1,&x<2,\\\ x-\tfrac12,&2<x<3,\\\\ 2,&x>3, \end{cases}
não existindo f'(2)\] nem \(f'(3).

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