Em cada item, determine o máximo e o mínimo absolutos da função
na região
. Sugestão. Parte do trabalho já foi feito no exercício C1.
.
Passo 1
A questão pede pra gente achar o máximo e o mínimo absolutos da função
num elipse fechada
. Como
é compacto, existe máximo e mínimo, e o teorema diz: a gente verifica pontos estacionários internos (onde
) e a fronteira (onde
).
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais e achamos os críticos internos. Temos
Passo 3
Igualando
e
dá
e
. Logo o único crítico interno é
e
Passo 4
Agora, vamos à fronteira
. Parametrizamos por
Passo 5
Substituindo em
obtenho uma função de um só parâmetro:
Passo 6
Pra achar extremos de
basta maximizar/minimizar o expoente
. Como
varia entre
:
- O expoente é máximo
quando . Isso dá . - O expoente é mínimo
quando . Isso dá .
Passo 7
Os pontos correspondentes são:
[\sin2t=1\Rightarrow t=\tfrac\pi4+\pi k\implies(x,y)=\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{4}\Bigr)ou\Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{4}\Bigr)."]
Passo 8
Comparando com o valor interno
, vemos que
logo os extremos absolutos estão na fronteira e são como descrito acima.
Resposta
O máximo absoluto é
, atingido nos pontos
e
. O mínimo absoluto é
, atingido nos pontos
e
.