Em cada item, determine o máximo e o mínimo absolutos da função f na região R. Sugestão. Parte do trabalho já foi feito no exercício C1.
f(x, y)=e^-x y, R=(x, y) in R^2 mid x^2+4 y^2 <= 1.

Passo 1

A questão pede pra gente achar o máximo e o mínimo absolutos da função f(x,y)=e^-xy num elipse fechada R:;x^2+4y^2<=1. Como R é compacto, existe máximo e mínimo, e o teorema diz: a gente verifica pontos estacionários internos (onde nabla f=0) e a fronteira (onde x^2+4y^2=1).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais e achamos os críticos internos. Temos
fx=partial fpartial x=-y,e^-xy, fy=-x,e^-xy

Passo 3

Igualando fx=0 e fy=0 y=0 e x=0. Logo o único crítico interno é (0,0) e
f(0,0)=e^0=1

Passo 4

Agora, vamos à fronteira x^2+4y^2=1. Parametrizamos por
x=cos t, y=tfrac12sin t, tin[0,2pi]

Passo 5

Substituindo em f obtenho uma função de um só parâmetro:
g(t)=f(cos t,tfrac12sin t)=e^-cos tcdot(tfrac12sin t)=e^-tfrac14sin2t

Passo 6

Pra achar extremos de g(t) basta maximizar/minimizar o expoente -tfrac14sin2t. Como sin2t varia entre [-1,1]:
  • O expoente é máximo tfrac14 quando sin2t=-1. Isso dá g(t)=e^1/4.
  • O expoente é mínimo -tfrac14 quando sin2t=1. Isso dá g(t)=e^-1/4.

Passo 7

Os pontos correspondentes são:
sin2t=-1Rightarrow t=-tfracpi4+pi kimplies(x,y)=l(tfracraiz22,-tfracraiz24r) ou l(-tfracraiz22,tfracraiz24r),
[\sin2t=1\Rightarrow t=\tfrac\pi4+\pi k\implies(x,y)=\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{4}\Bigr)ou\Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{4}\Bigr)."]

Passo 8

Comparando com o valor interno f(0,0)=1, vemos que
e^-1/4<1
logo os extremos absolutos estão na fronteira e são como descrito acima.

Resposta

O máximo absoluto é e^1/4, atingido nos pontos l(tfracraiz22,-tfracraiz24r) e l(-tfracraiz22,tfracraiz24r). O mínimo absoluto é e^-1/4, atingido nos pontos l(tfracraiz22,tfracraiz24r) e l(-tfracraiz22,-tfracraiz24r).

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