Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular a transformada de Fourier das funções a seguir.
f(x)=x e^-12(x-1)^2.

Passo 1

O problema pede a transformada de Fourier de f(x)=x,e^-tfrac12(x-1)^2. Vamos aplicar propriedades conhecidas de transformada de Fourier, em particular: a transformada de uma gaussiana, o deslocamento no eixo x e a propriedade de multiplicação por x.

Passo 2

Primeiro, recordamos a transformada de Fourier da gaussiana padrão h(x)=e^-x^2/2. Usando a convenção
H(omega)=integral-infty^+inftye^-x^2/2e^-iomega x,dx =raiz2pi,e^-omega^2/2

Passo 3

Em seguida, note que g(x)=e^-tfrac12(x-1)^2 é um deslocamento de h(x) em uma unidade para a direita. Pela propriedade de deslocamento no domínio do tempo,
G(omega)=Fg(x)=e^-iomegacdot1,H(omega) =raiz2pi,e^-iomega,e^-omega^2/2

Passo 4

Agora, queremos f(x)=x,g(x). A propriedade de multiplicação por x diz que
Fx,g(x)=i,ddomegaG(omega)
Logo,
F(omega)=i,ddomegal[raiz2pi,e^-iomega,e^-omega^2/2r]

Passo 5

Vamos derivar:
ddomegal(e^-iomegae^-omega^2/2r) =e^-iomegae^-omega^2/2(-i-omega)
Multiplicando por iraiz2pi, obtemos
F(omega)=raiz2pi,i,e^-iomega-omega^2/2(-i-omega) =raiz2pi,(1-i,omega),e^-iomega-omega^2/2

Passo 6

Portanto, chegamos à forma final da transformada de Fourier.

Resposta

F(omega)=raiz2pi,(1 - i,omega),e^-iomega - tfracomega^22.

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