Em cada item, utilize multiplicadores de Lagrange para determinar o máximo e o mínimo absolutos da função f sob a restrição imposta.
f(x, y)=x^2+y^2+4 x-4 y sob a restrição x^2+y^2=9.

Passo 1

A questão pede pra achar os extremos absolutos da função f(x,y)=x^2+y^2+4x-4y sujeita à restrição x^2+y^2=9. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar montar a Lagrangiana e resolver o sistema nabla f=lambda,nabla g junto com a restrição.

Passo 2

Montamos a Lagrangiana e escrevemos as condições de primeira ordem. Temos
L(x,y,lambda)=x^2+y^2+4x-4y-lambdal(x^2+y^2-9r)
Derivando e igualando a zero:
partial Lpartial x=2x+4-2lambda x=0, partial Lpartial y=2y-4-2lambda y=0, x^2+y^2=9

Passo 3

Das duas primeiras equações isolamos lambda:
2x+4=2lambda ximplies lambda=1+2x, 2y-4=2lambda yimplies lambda=1-2y

Passo 4

Igualando as expressões de lambda obtém-se
1+2x=1-2yimplies 1x=-1yimplies y=-x

Passo 5

Substituindo em x^2+y^2=9 vem
x^2+(-x)^2=9implies 2x^2=9implies x=pm3raiz22, y=mp3raiz22"

Passo 6

Agora avaliamos f nesses pontos. Como x^2+y^2=9,
f(x,y)=9+4x-4y

Passo 7

Para l(tfrac3raiz22,-tfrac3raiz22r):
f=9+4l(tfrac3raiz22-(-tfrac3raiz22)r)=9+12raiz2

Passo 8

Para l(-tfrac3raiz22,tfrac3raiz22r):
f=9+4l(-tfrac3raiz22-tfrac3raiz22r)=9-12raiz2

Resposta

Máximo absoluto em l(tfrac3raiz22,-tfrac3raiz22r) com f=9+12raiz2 e mínimo absoluto em l(-tfrac3raiz22,tfrac3raiz22r) com f=9-12raiz2.

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