Em cada item, determine a ordem e o grau da EDO dada. Diga também se a equação é linear ou não-linear.
\theta^{\prime \prime}=-\frac{g}{l} \operatorname{sen}(\theta)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\theta'' = -\frac{g}{l}\sin(\theta),
onde \theta é a função desconhecida (tipicamente \theta=\theta(t)) e g e l são constantes (gravidade e comprimento, respectivamente). O que se pede:
  • determinar a ordem da EDO;
  • determinar o grau da EDO;
  • dizer se a EDO é linear ou não-linear.

Passo 2

O que é “ordem” de uma EDO? A ordem é a maior ordem de derivada da função desconhecida que aparece na equação. Exemplos rápidos para fixar:
  • Se aparece y' mas não y'', a ordem é 1.
  • Se aparece y''', a ordem é 3, etc.
Na equação dada aparecem as derivadas: \theta'' (segunda derivada) e a função \theta (sem derivada). A maior ordem de derivada presente é 2. Logo a ordem da EDO é 2.

Passo 3

O que é “grau” de uma EDO? O grau é o expoente (potência) da maior derivada depois que a equação foi escrita de modo a ser um polinómio nas derivadas (ou seja, livre de funções transcendentes, raízes, denominadores envolvendo derivadas etc.). Regras importantes:
  • Primeiro escrever a equação de forma a que todos os termos fiquem numa soma igual a zero, por exemplo.
  • Se a maior derivada aparece elevada a uma potência inteira positiva (e não dentro de \sin, \exp, denominadores, raízes, etc.), esse expoente é o grau.
  • Se a maior derivada aparece dentro de uma função transcendental (por ex. \sin(\theta'')) ou com potência não inteira, o grau não está definido.
Reescrevendo a equação numa forma padrão:
\theta'' + \frac{g}{l}\sin(\theta)=0.
Aqui a maior derivada é \theta'' e ela aparece com potência 1 (não está dentro de uma função, não está em denominador, nem elevada a potência fracionária). Portanto o grau da EDO é 1.

Passo 4

O que significa ser uma EDO linear? Uma EDO é linear se a função desconhecida e todas as suas derivadas aparecem apenas com coeficientes que dependem somente da variável independente (por exemplo t) e aparecem com potência 1, sem produtos entre \theta, \theta', \theta'' nem funções não-lineares de \theta (como \sin(\theta), \theta^2, e^{\theta}, etc.). A forma linear de ordem n é
a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y = b(x),
onde os a_i(x) e b(x) dependem só da variável independente x.
Na equação dada temos o termo \sin(\theta). Isso é uma função não-linear de \theta. Mesmo que a derivada de maior ordem ( \theta'') apareça linearmente, a presença de \sin(\theta) torna a equação não-linear porque a incógnita \theta aparece de forma não-linear. Assim, a EDO é não-linear.
Um comentário prático e motivador: para pequenos \theta costuma-se aproximar \sin(\theta)\approx \theta, e aí a equação aproximada
\theta'' + \frac{g}{l}\theta = 0
é linear (essa é a equação do pêndulo linearizado). Mas atenção: isso é apenas uma aproximação; a equação original continua sendo não-linear.

Passo 5

Resumo (repetição curta e direta do que foi encontrado):
  • Ordem: 2.
  • Grau: 1.
  • Linearidade: não-linear (por causa de \sin(\theta)).

Resposta

Ordem: 2
Grau: 1
Não-linear

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