Em cada item, determine a ordem e o grau da EDO dada. Diga também se a equação é linear ou não-linear.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
é a função desconhecida (tipicamente
) e
e
são constantes (gravidade e comprimento, respectivamente). O que se pede:
- determinar a ordem da EDO;
- determinar o grau da EDO;
- dizer se a EDO é linear ou não-linear.
Passo 2
O que é “ordem” de uma EDO? A ordem é a maior ordem de derivada da função desconhecida que aparece na equação. Exemplos rápidos para fixar:
- Se aparece
mas não , a ordem é . - Se aparece
, a ordem é , etc.
Na equação dada aparecem as derivadas:
(segunda derivada) e a função
(sem derivada). A maior ordem de derivada presente é
. Logo a ordem da EDO é
.
Passo 3
O que é “grau” de uma EDO? O grau é o expoente (potência) da maior derivada depois que a equação foi escrita de modo a ser um polinómio nas derivadas (ou seja, livre de funções transcendentes, raízes, denominadores envolvendo derivadas etc.). Regras importantes:
- Primeiro escrever a equação de forma a que todos os termos fiquem numa soma igual a zero, por exemplo.
- Se a maior derivada aparece elevada a uma potência inteira positiva (e não dentro de
, , denominadores, raízes, etc.), esse expoente é o grau. - Se a maior derivada aparece dentro de uma função transcendental (por ex.
) ou com potência não inteira, o grau não está definido.
Reescrevendo a equação numa forma padrão:
Aqui a maior derivada é
e ela aparece com potência
(não está dentro de uma função, não está em denominador, nem elevada a potência fracionária). Portanto o grau da EDO é
.
Passo 4
O que significa ser uma EDO linear? Uma EDO é linear se a função desconhecida e todas as suas derivadas aparecem apenas com coeficientes que dependem somente da variável independente (por exemplo
) e aparecem com potência
, sem produtos entre
nem funções não-lineares de
(como
,
,
, etc.). A forma linear de ordem
é
onde os
e
dependem só da variável independente
.
Na equação dada temos o termo
. Isso é uma função não-linear de
. Mesmo que a derivada de maior ordem (
) apareça linearmente, a presença de
torna a equação não-linear porque a incógnita
aparece de forma não-linear. Assim, a EDO é não-linear.
Um comentário prático e motivador: para pequenos
costuma-se aproximar
, e aí a equação aproximada
é linear (essa é a equação do pêndulo linearizado). Mas atenção: isso é apenas uma aproximação; a equação original continua sendo não-linear.
Passo 5
Resumo (repetição curta e direta do que foi encontrado):
- Ordem:
. - Grau:
. - Linearidade: não-linear (por causa de
).
Resposta
Ordem:
Grau:
Não-linear
Grau:
Não-linear