Em cada item, determine a ordem e o grau da EDO dada. Diga também se a equação é linear ou não-linear.
Passo 1
O enunciado pede: para a equação diferencial
determinar (a) a ordem da EDO, (b) o grau da EDO e (c) se a equação é linear ou não-linear. As informações dadas são justamente os coeficientes dependentes de
(isto é,
,
,
) e o termo independente
.
Passo 2
O que é ordem de uma EDO? A ordem é a maior ordem de derivada que aparece na equação. Ou seja, verificar qual derivada de
aparece com maior número de diferenciações. Exemplos rápidos:
- Na equação
a maior derivada é , então a ordem é . - Na equação
a maior derivada é , então a ordem é .
Passo 3
Olhe para a equação dada: o maior derivado presente é
. Portanto a ordem da EDO é
Passo 4
O que é grau de uma EDO? O grau é o expoente (grau) do maior derivado depois que a equação for escrita de forma polinomial em todas as derivadas (isto é, sem funções transcendentes, frações, raízes ou potências não inteiras envolvendo derivadas). Se aparecer algo como
,
ou
, o grau não estaria definido. Exemplos:
-
tem grau . -
não tem grau definido (porque aparece uma função transcendental da derivada).
Passo 5
Verificamos a equação dada:
Aqui as derivadas
e
aparecem apenas em potências
(não estão dentro de
, raiz, fração em que elas seriam denominador etc.). A equação é um polinômio linear nas derivadas. Logo o grau, que é o expoente do maior derivado (
) na forma polinomial, é
Passo 6
O que significa uma EDO ser linear? Uma EDO é linear em
(e nas suas derivadas) se ela pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
dependem somente da variável independente
(ou são constantes) e não dependem de
nem de suas derivadas; e
é uma função conhecida de
. Se houver termos como
ou
então a equação é não-linear.
Passo 7
Compare a forma geral com a equação dada. Podemos identificar
Os coeficientes dependem apenas de
e não aparece nenhuma mistura não linear de
ou de suas derivadas entre si. Portanto a equação é linear (especificamente é linear de segunda ordem e não homogênea, pois
).
Resposta
Ordem:
\n
Grau: \n
Linearidade: linear
Grau:
Linearidade: linear