Em cada item, determine a ordem e o grau da EDO dada. Diga também se a equação é linear ou não-linear.
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+2 y=\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede: para a equação diferencial
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+x\frac{dy}{dx}+2y=\sin(x)
determinar (a) a ordem da EDO, (b) o grau da EDO e (c) se a equação é linear ou não-linear. As informações dadas são justamente os coeficientes dependentes de x (isto é, x^{2}, x, 2) e o termo independente \sin(x).

Passo 2

O que é ordem de uma EDO? A ordem é a maior ordem de derivada que aparece na equação. Ou seja, verificar qual derivada de y aparece com maior número de diferenciações. Exemplos rápidos:
  • Na equação \dfrac{dy}{dx}+y=0 a maior derivada é \dfrac{dy}{dx}, então a ordem é 1.
  • Na equação \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}+y=0 a maior derivada é \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}, então a ordem é 3.

Passo 3

Olhe para a equação dada: o maior derivado presente é \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}. Portanto a ordem da EDO é
\text{ordem} = 2.

Passo 4

O que é grau de uma EDO? O grau é o expoente (grau) do maior derivado depois que a equação for escrita de forma polinomial em todas as derivadas (isto é, sem funções transcendentes, frações, raízes ou potências não inteiras envolvendo derivadas). Se aparecer algo como \sin\!\big(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\big), \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{1/2} ou \dfrac{1}{\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}}, o grau não estaria definido. Exemplos:
  • \left(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}+y=0 tem grau 3.
  • \sin\!\big(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\big)=0 não tem grau definido (porque aparece uma função transcendental da derivada).

Passo 5

Verificamos a equação dada:
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+x\frac{dy}{dx}+2y=\sin(x).
Aqui as derivadas \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} e \dfrac{dy}{dx} aparecem apenas em potências 1 (não estão dentro de \sin, raiz, fração em que elas seriam denominador etc.). A equação é um polinômio linear nas derivadas. Logo o grau, que é o expoente do maior derivado ( \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}) na forma polinomial, é
\text{grau} = 1.

Passo 6

O que significa uma EDO ser linear? Uma EDO é linear em y (e nas suas derivadas) se ela pode ser escrita na forma
a_{n}(x)\frac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y = g(x),
onde os coeficientes a_{i}(x) dependem somente da variável independente x (ou são constantes) e não dependem de y nem de suas derivadas; e g(x) é uma função conhecida de x. Se houver termos como y\cdot \dfrac{dy}{dx} ou \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2} então a equação é não-linear.

Passo 7

Compare a forma geral com a equação dada. Podemos identificar
a_{2}(x)=x^{2},\qquad a_{1}(x)=x,\qquad a_{0}(x)=2,\qquad g(x)=\sin(x).
Os coeficientes dependem apenas de x e não aparece nenhuma mistura não linear de y ou de suas derivadas entre si. Portanto a equação é linear (especificamente é linear de segunda ordem e não homogênea, pois g(x)=\sin(x)\neq 0).

Resposta

Ordem: 2\n
Grau: 1\n
Linearidade: linear

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