Em cada item, determine a ordem e o grau da EDO dada. Diga também se a equação é linear ou não-linear.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a equação diferencial dada:
- Determinar a ordem da EDO.
- Determinar o grau da EDO.
- Dizer se a EDO é linear ou não-linear.
A equação dada (copiada do enunciado) é:
Estas são todas as informações fornecidas. Não vou resolver nada ainda; só listei o que é pedido e qual é a equação com a qual vamos trabalhar.
Passo 2
O que é “ordem” de uma EDO (explicação didática)?
- A ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior número de derivadas de
que aparece na equação. - Em termos simples: olha qual é a maior derivada que aparece; por exemplo, em
a ordem é porque aparece a derivada terceira. - Exemplo rápido: para
a ordem é .
Passo 3
Identificando a ordem na equação dada.
- Na equação estamos vendo explicitamente
(a derivada de segunda ordem) e também (a derivada de primeira ordem). - A maior ordem de derivada presente é a segunda ordem,
. - Portanto a ordem da EDO é a segunda ordem.
Passo 4
O que é “grau” de uma EDO (explicação didática)?
- O grau de uma EDO é o expoente da maior derivada quando a equação é escrita como um polinómio em todas as derivadas (ou seja, depois de eliminar radicais e denominadores que envolvam derivadas), desde que essa escrita seja possível.
- Duas advertências importantes:
- O grau só é definido quando a equação pode ser colocada numa forma polinomial em
. Se aparecerem raízes fracionárias ou derivadas no denominador, pode não existir grau bem-definido. - O grau é o maior expoente com que aparece a maior derivada na expressão polinomial.
- O grau só é definido quando a equação pode ser colocada numa forma polinomial em
- Exemplos:
- Para
o grau é . - Para
não se define grau (por causa da raiz). - Para
a ordem é e o grau é (porque a maior derivada aparece com expoente ).
- Para
Passo 5
Determinar o grau da equação dada — análise passo a passo.
- Reescrevemos uma parte da equação para ver a estrutura: seja
Então a parte cúbica é . - Usamos a identidade do cubo para ver como aparecem as potências de
: - Ao substituir de volta, vemos termos que envolvem
, termos com , etc. - Observações que garantem que o grau está bem-definido aqui:
- Não há raízes nem denominadores envolvendo derivadas: a expressão é um polinômio (após expansão) em
e nas demais derivadas. - A maior derivada é
e aparece elevada até a potência (no termo ).
- Não há raízes nem denominadores envolvendo derivadas: a expressão é um polinômio (após expansão) em
- Portanto o grau da EDO é
.
Passo 6
O que significa a EDO ser linear e como verificar (explicação didática)?
- Uma EDO é linear se a função desconhecida
e todas as suas derivadas aparecem apenas em primeira potência (não elevadas a potências, não multiplicadas entre si, e não dentro de funções não-lineares) e os coeficientes dessas quantidades dependem somente da variável independente . - A forma geral de uma EDO linear de ordem
é onde os e dependem apenas de . - Se houver termos como
, , , etc., a equação é não-linear.
Passo 7
Aplicando a verificação de linearidade à equação dada.
- Já vimos que, após escrever
com e , aparece claramente o termo . - Além disso aparecem termos mistos como
e , que são produtos entre derivadas e a função . - Esses termos envolvem potências da derivada de segunda ordem e produtos entre derivadas e
, portanto violam a condição de linearidade (que exige que e suas derivadas apareçam apenas na primeira potência e não multiplicadas entre si). - Conclusão lógica: a equação não é linear.
Resposta
Ordem:
Grau:
Classificação: não-linear
Grau:
Classificação: não-linear