Em cada item, determine a ordem e o grau da EDO dada. Diga também se a equação é linear ou não-linear.
\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y \operatorname{sen}(x)\right)^{3}-\frac{d y}{d x}+y=-e^{x}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a equação diferencial dada:
  • Determinar a ordem da EDO.
  • Determinar o grau da EDO.
  • Dizer se a EDO é linear ou não-linear.
A equação dada (copiada do enunciado) é:
\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y \sin(x)\right)^{3}-\frac{d y}{d x}+y=-e^{x}
Estas são todas as informações fornecidas. Não vou resolver nada ainda; só listei o que é pedido e qual é a equação com a qual vamos trabalhar.

Passo 2

O que é “ordem” de uma EDO (explicação didática)?
  • A ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior número de derivadas de y que aparece na equação.
  • Em termos simples: olha qual é a maior derivada que aparece; por exemplo, em \dfrac{d^3 y}{dx^3}+y=0 a ordem é 3 porque aparece a derivada terceira.
  • Exemplo rápido: para \dfrac{d^2 y}{dx^2}+ \dfrac{dy}{dx}-y=0 a ordem é 2.

Passo 3

Identificando a ordem na equação dada.
  • Na equação estamos vendo explicitamente \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}} (a derivada de segunda ordem) e também \dfrac{d y}{d x} (a derivada de primeira ordem).
  • A maior ordem de derivada presente é a segunda ordem, \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}.
  • Portanto a ordem da EDO é a segunda ordem.

Passo 4

O que é “grau” de uma EDO (explicação didática)?
  • O grau de uma EDO é o expoente da maior derivada quando a equação é escrita como um polinómio em todas as derivadas (ou seja, depois de eliminar radicais e denominadores que envolvam derivadas), desde que essa escrita seja possível.
  • Duas advertências importantes:
    1. O grau só é definido quando a equação pode ser colocada numa forma polinomial em \dfrac{d^n y}{dx^n},\dots,\dfrac{dy}{dx},y. Se aparecerem raízes fracionárias ou derivadas no denominador, pode não existir grau bem-definido.
    2. O grau é o maior expoente com que aparece a maior derivada na expressão polinomial.
  • Exemplos:
    • Para \left(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\right)^3 + y = 0 o grau é 3.
    • Para \sqrt{\dfrac{d^2 y}{dx^2}} + y = 0 não se define grau (por causa da raiz).
    • Para \dfrac{d^3 y}{dx^3} + \left(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\right)^2 = 0 a ordem é 3 e o grau é 1 (porque a maior derivada \dfrac{d^3 y}{dx^3} aparece com expoente 1).

Passo 5

Determinar o grau da equação dada — análise passo a passo.
  • Reescrevemos uma parte da equação para ver a estrutura: seja A=\frac{d^{2} y}{d x^{2}},\qquad B=y\sin(x).Então a parte cúbica é (A+B)^3.
  • Usamos a identidade do cubo para ver como aparecem as potências de A: (A+B)^3 = A^3 + 3A^2 B + 3 A B^2 + B^3.
  • Ao substituir de volta, vemos termos que envolvem A^3=\left(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\right)^3, termos com A^2 B=\left(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\right)^2\big(y\sin(x)\big), etc.
  • Observações que garantem que o grau está bem-definido aqui:
    • Não há raízes nem denominadores envolvendo derivadas: a expressão é um polinômio (após expansão) em \dfrac{d^2 y}{dx^2} e nas demais derivadas.
    • A maior derivada é \dfrac{d^2 y}{dx^2} e aparece elevada até a potência 3 (no termo A^3).
  • Portanto o grau da EDO é 3.

Passo 6

O que significa a EDO ser linear e como verificar (explicação didática)?
  • Uma EDO é linear se a função desconhecida y e todas as suas derivadas aparecem apenas em primeira potência (não elevadas a potências, não multiplicadas entre si, e não dentro de funções não-lineares) e os coeficientes dessas quantidades dependem somente da variável independente x.
  • A forma geral de uma EDO linear de ordem n é a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),onde os a_i(x) e g(x) dependem apenas de x.
  • Se houver termos como \left(y''\right)^2, y\,y', \sin(y), (y'')^3 etc., a equação é não-linear.

Passo 7

Aplicando a verificação de linearidade à equação dada.
  • Já vimos que, após escrever (A+B)^3 com A=\dfrac{d^2 y}{dx^2} e B=y\sin(x), aparece claramente o termo A^3=\left(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\right)^3.
  • Além disso aparecem termos mistos como \left(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\right)^2\big(y\sin(x)\big) e \dfrac{d^2 y}{dx^2}\big(y\sin(x)\big)^2, que são produtos entre derivadas e a função y.
  • Esses termos envolvem potências da derivada de segunda ordem e produtos entre derivadas e y, portanto violam a condição de linearidade (que exige que y e suas derivadas apareçam apenas na primeira potência e não multiplicadas entre si).
  • Conclusão lógica: a equação não é linear.

Resposta

Ordem: 2
Grau: 3
Classificação: não-linear

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