Em cada item, determine a ordem e o grau da EDO dada. Diga também se a equação é linear ou não-linear.
\frac{d T}{d t}=k\left(T-T_{m}\right)

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a equação diferencial dada:
  • Determinar a ordem da equação.
  • Determinar o grau da equação.
  • Dizer se a equação é linear ou não-linear.
A equação fornecida é
\frac{dT}{dt}=k\left(T-T_{m}\right).
Informações explícitas que temos (peguei estes símbolos do enunciado):
  • A incógnita é T, que é função do tempo t.
  • Há uma derivada \dfrac{dT}{dt}.
  • k e T_{m} aparecem como parâmetros (constantes, pelo enunciado).

Passo 2

O que é “ordem” de uma EDO?
A ordem é o maior índice de derivada que aparece na equação. Por exemplo:
  • Se aparece só \dfrac{dT}{dt}, a ordem é 1.
  • Se aparece \dfrac{d^2T}{dt^2} e não aparece nenhuma derivada de ordem maior, a ordem é 2.
Na nossa equação a derivada de maior ordem que aparece é \dfrac{dT}{dt} (derivada de primeira ordem). Portanto a ordem é
\text{ordem} = 1.

Passo 3

O que é “grau” de uma EDO?
O grau é o expoente (o maior) com que aparece a derivada de maior ordem, desde que a equação seja um polinómio em todas as derivadas. Se a derivada aparece com potências inteiras positivas (ou seja, sem raízes, frações ou funções transcendentes envolvendo a derivada), então o grau está bem definido.
Na equação dada a derivada \dfrac{dT}{dt} aparece com expoente 1 (aparecendo simplesmente \dfrac{dT}{dt} isolada) e não há potências fracionárias nem funções da derivada. Logo o grau é
\text{grau} = 1.
(Dica prática: se tivesse algo como \left(\dfrac{dT}{dt}\right)^2 o grau seria 2; se aparecesse \sin\!\left(\dfrac{dT}{dt}\right) o grau não estaria definido.)

Passo 4

O que significa ser uma EDO linear?
Uma EDO é linear se a incógnita T e todas as suas derivadas aparecem apenas com expoente 1 (ou seja, multiplicadas por funções que dependem só da variável independente t) e não aparecem produtos ou funções não-lineares de T ou das suas derivadas. A forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem é
a_1(t)\,\frac{dT}{dt}+a_0(t)\,T=g(t),
onde a_1,a_0,g dependem apenas de t (podem ser constantes).

Passo 5

Colocar a equação dada na forma linear padrão. Partindo de
\frac{dT}{dt}=k\left(T-T_{m}\right),
passo todos os termos que contêm T para a esquerda:
\frac{dT}{dt}-kT=-kT_{m}.
Agora compara-se com a forma padrão:
a_1(t)=1,\qquad a_0(t)=-k,\qquad g(t)=-kT_{m}.
Aqui a_1,a_0,g são funções de t (no caso são constantes se k e T_{m} forem constantes). Não há termos do tipo T^2, T\cdot \dfrac{dT}{dt}, \sin(T), etc. Portanto a equação é linear.

Passo 6

Comentário final e intuição (pra te animar):
  • Essa equação é a conhecida lei do resfriamento de Newton (sim, é exatamente isso), então é muito comum e bem comportada: ordem 1, grau 1 e linear.
  • Se T_{m}=0 o termo fonte do lado direito some e a equação fica homogênea; se T_{m}\neq 0 é linear não-homogênea.

Resposta

Ordem: 1
Grau: 1
Linearidade: linear

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