Em cada item, determine a ordem e o grau da EDO dada. Diga também se a equação é linear ou não-linear.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a equação diferencial dada:
- Determinar a ordem da equação.
- Determinar o grau da equação.
- Dizer se a equação é linear ou não-linear.
A equação fornecida é
Informações explícitas que temos (peguei estes símbolos do enunciado):
- A incógnita é
, que é função do tempo . - Há uma derivada
. -
e aparecem como parâmetros (constantes, pelo enunciado).
Passo 2
O que é “ordem” de uma EDO?
A ordem é o maior índice de derivada que aparece na equação. Por exemplo:
A ordem é o maior índice de derivada que aparece na equação. Por exemplo:
- Se aparece só
, a ordem é . - Se aparece
e não aparece nenhuma derivada de ordem maior, a ordem é .
Na nossa equação a derivada de maior ordem que aparece é
(derivada de primeira ordem). Portanto a ordem é
Passo 3
O que é “grau” de uma EDO?
O grau é o expoente (o maior) com que aparece a derivada de maior ordem, desde que a equação seja um polinómio em todas as derivadas. Se a derivada aparece com potências inteiras positivas (ou seja, sem raízes, frações ou funções transcendentes envolvendo a derivada), então o grau está bem definido.
O grau é o expoente (o maior) com que aparece a derivada de maior ordem, desde que a equação seja um polinómio em todas as derivadas. Se a derivada aparece com potências inteiras positivas (ou seja, sem raízes, frações ou funções transcendentes envolvendo a derivada), então o grau está bem definido.
Na equação dada a derivada
aparece com expoente
(aparecendo simplesmente
isolada) e não há potências fracionárias nem funções da derivada. Logo o grau é
(Dica prática: se tivesse algo como
o grau seria
; se aparecesse
o grau não estaria definido.)
Passo 4
O que significa ser uma EDO linear?
Uma EDO é linear se a incógnita e todas as suas derivadas aparecem apenas com expoente
(ou seja, multiplicadas por funções que dependem só da variável independente
) e não aparecem produtos ou funções não-lineares de
ou das suas derivadas. A forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem é
Uma EDO é linear se a incógnita
onde
dependem apenas de
(podem ser constantes).
Passo 5
Colocar a equação dada na forma linear padrão. Partindo de
passo todos os termos que contêm
para a esquerda:
Agora compara-se com a forma padrão:
Aqui
são funções de
(no caso são constantes se
e
forem constantes). Não há termos do tipo
,
,
, etc. Portanto a equação é linear.
Passo 6
Comentário final e intuição (pra te animar):
- Essa equação é a conhecida lei do resfriamento de Newton (sim, é exatamente isso), então é muito comum e bem comportada: ordem
, grau e linear. - Se
o termo fonte do lado direito some e a equação fica homogênea; se é linear não-homogênea.
Resposta
Ordem:
Grau:
Linearidade: linear
Grau:
Linearidade: linear