Em cada item, determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{3 n+1}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{3 n+1}
e pede que se determine se a série é convergente ou divergente. Informação importante que temos explicitamente:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^{n} n}{3 n+1}.
  • Os sinais alternam por causa do fator (-1)^{n}.
    A tarefa é dizer, com justificativa, se a soma infinita converge (tem soma finita) ou diverge.

Passo 2

Lembrete importante (teste necessário para convergência): se uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge então o termo geral a_n deve tender a zero, isto é,
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Esse é o chamado teste do termo geral (ou teste necessário). A contrapartida útil: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), então a série diverge. Vou usar esse teste porque é o mais direto: basta analisar o limite de a_n.

Passo 3

Calcular o limite do valor absoluto do termo (ou diretamente do termo). Primeiro simplifico a parte positiva:
\frac{n}{3n+1}=\frac{1}{3+\tfrac{1}{n}}.
Tomando limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3+\tfrac{1}{n}}=\frac{1}{3}.
Portanto os módulos dos termos tendem a 1/3, e não a zero.

Passo 4

Analisando o próprio termo com sinal:
  • Para n par, (-1)^n=1 e a_n\to +\tfrac{1}{3}.
  • Para n ímpar, (-1)^n=-1 e a_n\to -\tfrac{1}{3}.
    Assim a sequência (a_n) não tende a zero: ela tem dois pontos-limite \pm\tfrac{1}{3}. Pelo teste do termo geral, se a_n\not\to 0 a série \sum a_n diverge.

Passo 5

Breve comentário didático: mesmo sendo alternada, a série só poderia convergir se os módulos dos termos fossem decrescentes e tendessem a zero (condição do teste de Leibniz). Aqui os módulos tendem a 1/3\neq0, então não há convergência. Não é preciso aplicar testes mais sofisticados.

Resposta

A série é divergente.

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