Em cada item, determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que se determine se a série é convergente ou divergente. Informação importante que temos explicitamente:
- O termo geral é
. - Os sinais alternam por causa do fator
.
A tarefa é dizer, com justificativa, se a soma infinita converge (tem soma finita) ou diverge.
Passo 2
Lembrete importante (teste necessário para convergência): se uma série
converge então o termo geral
deve tender a zero, isto é,
Esse é o chamado teste do termo geral (ou teste necessário). A contrapartida útil: se
(ou não existe), então a série diverge. Vou usar esse teste porque é o mais direto: basta analisar o limite de
.
Passo 3
Calcular o limite do valor absoluto do termo (ou diretamente do termo). Primeiro simplifico a parte positiva:
Tomando limite quando
,
Portanto os módulos dos termos tendem a
, e não a zero.
Passo 4
Analisando o próprio termo com sinal:
- Para
par, e . - Para
ímpar, e .
Assim a sequêncianão tende a zero: ela tem dois pontos-limite . Pelo teste do termo geral, se a série diverge.
Passo 5
Breve comentário didático: mesmo sendo alternada, a série só poderia convergir se os módulos dos termos fossem decrescentes e tendessem a zero (condição do teste de Leibniz). Aqui os módulos tendem a
, então não há convergência. Não é preciso aplicar testes mais sofisticados.
Resposta
A série é divergente.