Questão 3. (1.0) Se C é um cubo de aresta 3, qual é o fluxo do campo \vec{F}(x, y, z)=\left(2 x+3 y^{2}, 4 y+5 z^{2}, 6 z+7\right) para fora de C ?

Passo 1

O enunciado dá um campo vetorial e um cubo e pede o fluxo para fora do cubo. Lista clara do que temos e do que se pede:
  • Campo vetorial: \vec{F}(x,y,z)=\bigl(2x+3y^{2},\;4y+5z^{2},\;6z+7\bigr). Aqui as componentes são funções de x,y,z: a primeira componente é 2x+3y^{2}, a segunda é 4y+5z^{2} e a terceira é 6z+7.
  • Cubo C: aresta igual a 3. O enunciado não especificou a posição do cubo no sistema de coordenadas; para resolver de forma padrão e sem perda de generalidade, assumirei que as faces são paralelas aos eixos coordenados e que o cubo ocupa a região
0\le x\le 3,\qquad 0\le y\le 3,\qquad 0\le z\le 3.
(essa é a escolha usual quando o enunciado só dá a aresta).
  • Pedido: calcular o fluxo de \vec{F} para fora de C, isto é,
\iint_{\partial C}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS,
onde \partial C é a superfície fechada do cubo e \hat{n} é a normal unitária apontando para fora.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicação didática).
  • Conceito de divergência: para um campo vetorial \vec{F}=(F_1,F_2,F_3), a divergência é a função escalar
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Fisicamente, \operatorname{div}\vec{F} mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume num ponto: se for positiva, há mais saída do que entrada localmente.
  • Teorema da divergência (Teorema de Gauss): para uma região volumétrica V com fronteira fechada \partial V e orientação para fora,
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\;dV.
Explicação: em vez de calcular o fluxo por cada face (coisa chata com seis integrais), é muito mais prático calcular a integral tripla da divergência sobre o volume. As variáveis: dV é o elemento de volume (aqui dV=dx\,dy\,dz).
Vou usar esse teorema porque simplifica muito quando \operatorname{div}\vec{F} é simples (como aqui).

Passo 3

Calcular a divergência do campo componente a componente (mostrando como derivar).
Temos \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) com
F_1(x,y,z)=2x+3y^{2},\qquad F_2(x,y,z)=4y+5z^{2},\qquad F_3(x,y,z)=6z+7.
Agora derivadas parciais:
  • \dfrac{\partial F_1}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(2x+3y^{2}). Aqui y é tratado como constante, então a derivada de 2x é 2 e de 3y^{2} é 0. Logo \dfrac{\partial F_1}{\partial x}=2.
  • \dfrac{\partial F_2}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(4y+5z^{2}). Derivada de 4y é 4; de 5z^{2} é 0 (pois z é tratado como constante). Assim \dfrac{\partial F_2}{\partial y}=4.
  • \dfrac{\partial F_3}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(6z+7). Derivada de 6z é 6 e de 7 é 0. Logo \dfrac{\partial F_3}{\partial z}=6.
Somando,
\operatorname{div}\vec{F}=2+4+6=12.
Observação importante: a divergência aqui é constante (igual a 12) em todo o espaço, o que deixa a integral tripla bem simples.

Passo 4

Aplicar o teorema da divergência e montar a integral.
Pelo teorema de Gauss,
\iint_{\partial C}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS=\iiint_{C}\operatorname{div}\vec{F}\;dV.
Como \operatorname{div}\vec{F}=12 é constante, a integral fica
\iiint_{C}12\;dV = 12\iiint_{C}dV = 12\cdot\text{(volume de }C\text{)}.
Agora calculamos o volume do cubo de aresta 3: volume =3^{3}=27.
Portanto o fluxo é 12 vezes 27, ou seja
\iint_{\partial C}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS = 12\cdot 27.

Passo 5

Comentário final e verificação rápida.
  • Multiplicando 12\cdot27 obtém-se o valor numérico do fluxo.
  • Observação útil para provas: quando a divergência é constante, o fluxo através de qualquer superfície fechada que delimite um volume V vale essa constante vezes o volume — não importa a forma ou a posição, apenas o volume. Aqui escolhemos o cubo 0\le x,y,z\le 3 porque é a posição padrão; mesmo que o cubo estivesse deslocado, o volume continuaria 27 e a resposta seria a mesma porque a divergência é constante.

Resposta

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