Questão 3. (1.0) Se
é um cubo de aresta 3, qual é o fluxo do campo
para fora de
?
Passo 1
O enunciado dá um campo vetorial e um cubo e pede o fluxo para fora do cubo. Lista clara do que temos e do que se pede:
- Campo vetorial:
. Aqui as componentes são funções de : a primeira componente é , a segunda é e a terceira é . - Cubo
: aresta igual a . O enunciado não especificou a posição do cubo no sistema de coordenadas; para resolver de forma padrão e sem perda de generalidade, assumirei que as faces são paralelas aos eixos coordenados e que o cubo ocupa a região
(essa é a escolha usual quando o enunciado só dá a aresta).
- Pedido: calcular o fluxo de
para fora de , isto é,
onde
é a superfície fechada do cubo e
é a normal unitária apontando para fora.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicação didática).
- Conceito de divergência: para um campo vetorial
, a divergência é a função escalar
Fisicamente,
mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume num ponto: se for positiva, há mais saída do que entrada localmente.
- Teorema da divergência (Teorema de Gauss): para uma região volumétrica
com fronteira fechada e orientação para fora,
Explicação: em vez de calcular o fluxo por cada face (coisa chata com seis integrais), é muito mais prático calcular a integral tripla da divergência sobre o volume. As variáveis:
é o elemento de volume (aqui
).
Vou usar esse teorema porque simplifica muito quando
é simples (como aqui).
Passo 3
Calcular a divergência do campo componente a componente (mostrando como derivar).
Temos
com
Agora derivadas parciais:
-
. Aqui é tratado como constante, então a derivada de é e de é . Logo . -
. Derivada de é ; de é (pois é tratado como constante). Assim . -
. Derivada de é e de é . Logo .
Somando,
Observação importante: a divergência aqui é constante (igual a
) em todo o espaço, o que deixa a integral tripla bem simples.
Passo 4
Aplicar o teorema da divergência e montar a integral.
Pelo teorema de Gauss,
Como
é constante, a integral fica
Agora calculamos o volume do cubo de aresta
: volume
.
Portanto o fluxo é
vezes
, ou seja
Passo 5
Comentário final e verificação rápida.
- Multiplicando
obtém-se o valor numérico do fluxo. - Observação útil para provas: quando a divergência é constante, o fluxo através de qualquer superfície fechada que delimite um volume
vale essa constante vezes o volume — não importa a forma ou a posição, apenas o volume. Aqui escolhemos o cubo porque é a posição padrão; mesmo que o cubo estivesse deslocado, o volume continuaria e a resposta seria a mesma porque a divergência é constante.
Resposta
324