Em cada item, determine o Wronskiano do par de funções.
e^{-2 x}, x e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede: “Em cada item, determine o Wronskiano do par de funções.” As funções fornecidas são:
  • y_1(x)=e^{-2x}
  • y_2(x)=x\,e^{-2x}
Então precisamos calcular o Wronskiano desse par de funções, isto é, uma função W(x) definida a partir de y_1 e y_2.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicadinha): o Wronskiano de duas funções y_1 e y_2 é a determinante da matriz formada por elas e suas derivadas:
W(y_1,y_2)(x)= \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x)\\[4pt] y_1'(x) & y_2'(x) \end{vmatrix} = y_1(x)\,y_2'(x)-y_2(x)\,y_1'(x).
Aqui y_1' e y_2' significam as derivadas em relação a x. O objetivo é calcular y_1',y_2' e aplicar essa fórmula.]

Passo 3

Calcular as derivadas (com explicação das regras usadas):
  • Para y_1(x)=e^{-2x}: aplicar a regra da cadeia. A derivada de e^{u(x)} é u'(x) e^{u(x)}. Aqui u(x)=-2x e u'(x)=-2. Logo
y_1'(x) = -2\,e^{-2x}.
  • Para y_2(x)=x\,e^{-2x}: usar a regra do produto (fg)'=f'g+fg'. Tomando f(x)=x e g(x)=e^{-2x},
f'(x)=1,\qquad g'(x)=-2\,e^{-2x}.
Portanto
y_2'(x)=1\cdot e^{-2x} + x\cdot(-2\,e^{-2x}) = e^{-2x}-2x\,e^{-2x} = (1-2x)\,e^{-2x}.

Passo 4

Montar o determinante e simplificar passo a passo:
Usando a fórmula do Wronskiano,
W(y_1,y_2)(x)=y_1(x)\,y_2'(x)-y_2(x)\,y_1'(x).
Substituindo os valores que temos:
W(x)=e^{-2x}\cdot\big[(1-2x)\,e^{-2x}\big] - \big[x\,e^{-2x}\big]\cdot\big[-2\,e^{-2x}\big].
Agora simplificar fatorando e^{-2x}\cdot e^{-2x}=e^{-4x}:
W(x)=(1-2x)\,e^{-4x} + 2x\,e^{-4x}.
Somando os termos dentro do parêntese:
W(x)=\big(1-2x+2x\big)\,e^{-4x}=1\cdot e^{-4x}=e^{-4x}.

Passo 5

Interpretação rápida (útil na prova): o Wronskiano encontrado é W(x)=e^{-4x}, que é diferente de zero para todo x\in\mathbb{R}. Isso implica que y_1 e y_2 são linearmente independentes em todo \mathbb{R}. Pequena dica geral: quando uma função é y_2=u(x)y_1, há uma fórmula útil que dá W(y_1,y_2)=y_1(x)^2\,u'(x); aqui u(x)=x e u'(x)=1, então W=y_1^2\cdot1=(e^{-2x})^2=e^{-4x}, que bate com o cálculo direto.

Resposta

W(x)=e^{-4x}

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