Em cada item, determine o Wronskiano do par de funções.
e^{-2 x}, x e^{-2 x}
Passo 1
O enunciado pede: “Em cada item, determine o Wronskiano do par de funções.” As funções fornecidas são:
y_1(x)=e^{-2x}
y_2(x)=x\,e^{-2x}
Então precisamos calcular o Wronskiano desse par de funções, isto é, uma função W(x) definida a partir de y_1 e y_2.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (explicadinha): o Wronskiano de duas funções y_1 e y_2 é a determinante da matriz formada por elas e suas derivadas:
Interpretação rápida (útil na prova): o Wronskiano encontrado é W(x)=e^{-4x}, que é diferente de zero para todo x\in\mathbb{R}. Isso implica que y_1 e y_2 são linearmente independentes em todo \mathbb{R}. Pequena dica geral: quando uma função é y_2=u(x)y_1, há uma fórmula útil que dá W(y_1,y_2)=y_1(x)^2\,u'(x); aqui u(x)=x e u'(x)=1, então W=y_1^2\cdot1=(e^{-2x})^2=e^{-4x}, que bate com o cálculo direto.