Resolva as equações de Cauchy-Euler a seguir.
4 x^{2} y^{\prime \prime}+12 x y^{\prime}+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem (homogênea)
4 x^{2} y^{\prime\prime}+12 x y^{\prime}+5 y=0.
Informações que temos:
  • A incógnita é y=y(x).
  • A equação é homogênea e tem coeficientes que são potências de x (termos como x^2, x), o que sugere tentar a forma de solução típica para esse tipo de equação.
  • Queremos encontrar a solução geral y(x) (com constantes arbitrárias).

Passo 2

Motivação do método (passo a passo): para equações com coeficientes em potências de x é comum tentar uma solução do tipo
y=x^{m},
onde m é um número (possivelmente complexo) a determinar. Vou calcular y' e y'' para essa hipótese e mostrar por que isso funciona.
Cálculo das derivadas:
y=x^{m},\qquad y' = m x^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.

Passo 3

Substituo essas expressões na equação original. Cada termo será múltiplo de x^{m} após multiplicar pelos fatores em x:
4x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big) + 12x\big(m x^{m-1}\big) + 5\big(x^{m}\big)=0.
Simplificando fator comum x^{m} (que para x\neq0 não é zero), obtenho a equação algébrica (a chamada equação indicial):
4m(m-1) + 12m + 5 = 0.

Passo 4

Vou desenvolver e resolver essa equação quadrática em m:
4m(m-1)+12m+5 = 4m^{2}-4m+12m+5 = 4m^{2}+8m+5 = 0.
Calculo o discriminante \Delta:
\Delta = 8^{2}-4\cdot4\cdot5 = 64-80 = -16.
O discriminante é negativo, logo as raízes são complexas conjugadas. As raízes são
m = \frac{-8 \pm \sqrt{-16}}{2\cdot4} = \frac{-8 \pm 4i}{8} = -1 \pm \tfrac{1}{2}i.
Portanto m_1 = -1 + \tfrac{1}{2}i e m_2 = -1 - \tfrac{1}{2}i.

Passo 5

Como as raízes são complexas conjugadas m=\alpha\pm i\beta com \alpha=-1 e \beta=\tfrac{1}{2}, a forma real da solução geral é obtida usando a identidade
x^{\alpha\pm i\beta}=x^{\alpha}e^{\pm i\beta\ln x}=x^{\alpha}\big(\cos(\beta\ln x)\pm i\sin(\beta\ln x)\big).
Tomando combinações lineares reais das duas soluções complexas resulta na solução geral real:
y(x)=x^{\alpha}\Big(C_{1}\cos\big(\beta\ln x\big)+C_{2}\sin\big(\beta\ln x\big)\Big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais.
Substituindo \alpha=-1 e \beta=\tfrac{1}{2} obtemos a solução específica:
y(x)=x^{-1}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{1}{2}\ln x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{1}{2}\ln x\big)\Big).
Observação sobre domínio: essa forma está escrita usando \ln x, logo é válida para x>0. Para tratar x<0 costuma-se usar \ln|x| e ajustar constantes (assim a solução pode ser estendida com \ln|x| no lugar de \ln x).

Resposta

y(x)=x^{-1}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{1}{2}\ln x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{1}{2}\ln x\big)\Big)

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