Resolva as equações de Cauchy-Euler a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem (homogênea)
Informações que temos:
- A incógnita é
. - A equação é homogênea e tem coeficientes que são potências de
(termos como , ), o que sugere tentar a forma de solução típica para esse tipo de equação. - Queremos encontrar a solução geral
(com constantes arbitrárias).
Passo 2
Motivação do método (passo a passo): para equações com coeficientes em potências de
é comum tentar uma solução do tipo
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Vou calcular
e
para essa hipótese e mostrar por que isso funciona.
Cálculo das derivadas:
Passo 3
Substituo essas expressões na equação original. Cada termo será múltiplo de
após multiplicar pelos fatores em
:
Simplificando fator comum
(que para
não é zero), obtenho a equação algébrica (a chamada equação indicial):
Passo 4
Vou desenvolver e resolver essa equação quadrática em
:
Calculo o discriminante
:
O discriminante é negativo, logo as raízes são complexas conjugadas. As raízes são
Portanto
e
.
Passo 5
Como as raízes são complexas conjugadas
com
e
, a forma real da solução geral é obtida usando a identidade
Tomando combinações lineares reais das duas soluções complexas resulta na solução geral real:
onde
e
são constantes arbitrárias reais.
Substituindo
e
obtemos a solução específica:
Observação sobre domínio: essa forma está escrita usando
, logo é válida para
. Para tratar
costuma-se usar
e ajustar constantes (assim a solução pode ser estendida com
no lugar de
).