Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo e descreva o que ocorre com a solução quando x \rightarrow \infty.
\left\{\begin{array}{l}4 y^{\prime \prime}-y=0 \\\ y(-2)=1, y^{\prime}(-2)=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Achar a solução da equação diferencial com valor inicial
\begin{cases} 4y''-y=0,\\[4pt] y(-2)=1,\;y'(-2)=-1, \end{cases}
  • Descrever o que acontece com a solução quando x\to\infty.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: 4y''-y=0.
  • Condições iniciais em x_0=-2: y(-2)=1 e y'(-2)=-1.]

Passo 2

Idéia de resolução (passo a passo do método): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}, porque derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx} e isso transforma a ED numa equação algébrica para r (chamada equação característica). Vou aplicar isso aqui.
Proponho y=e^{rx}. Então
y'=r e^{rx},\qquad y''=r^2 e^{rx}.
Substituindo na equação dada:
4(r^2 e^{rx}) - e^{rx}=0.
Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
4r^2-1=0.

Passo 3

Resolver a equação característica:
4r^2-1=0 \quad\Longrightarrow\quad r^2=\tfrac{1}{4}\quad\Longrightarrow\quad r=\pm \tfrac{1}{2}.
Temos duas raízes reais distintas r_1=\tfrac{1}{2} e r_2=-\tfrac{1}{2}. Para duas raízes reais distintas, a solução geral da ED é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_1 e^{\tfrac{x}{2}} + C_2 e^{-\tfrac{x}{2}},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Pequena explicação didática: cada raiz r dá uma solução e^{rx}. Como a equação é linear e homogênea, qualquer combinação linear dessas duas soluções também é solução. As duas soluções são linearmente independentes porque uma não é múltiplo da outra, logo formam a base do espaço das soluções.

Passo 4

Calcular a derivada da solução geral (para usar as condições iniciais):
y'(x)=\tfrac{1}{2}C_1 e^{\tfrac{x}{2}} - \tfrac{1}{2}C_2 e^{-\tfrac{x}{2}}.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais em x=-2. Primeiro avalio as exponenciais em x=-2:
e^{\tfrac{-2}{2}}=e^{-1},\qquad e^{-\tfrac{-2}{2}}=e^{1}.
Agora escrevo as duas equações obtidas a partir de y(-2)=1 e y'(-2)=-1.
Da condição y(-2)=1:
C_1 e^{-1} + C_2 e^{1} = 1.
Da condição y'(-2)=-1:
\tfrac{1}{2}C_1 e^{-1} - \tfrac{1}{2}C_2 e^{1} = -1.

Passo 6

Resolver o sistema para C_1\) e \(C_2\). Multiplico a segunda equação por \(2\) para simplificar: \[C_1 e^{-1} - C_2 e^{1} = -2.
Agora tenho o sistema
\begin{cases} C_1 e^{-1} + C_2 e^{1} = 1,\\[4pt] C_1 e^{-1} - C_2 e^{1} = -2. \end{cases}
Somando as duas equações:
2 C_1 e^{-1} = -1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 e^{-1} = -\tfrac{1}{2}.
Logo
C_1 = -\tfrac{1}{2} e^{1} = -\tfrac{e}{2}.
Substituindo C_1 e^{-1}=-\tfrac{1}{2}\] em \(C_1 e^{-1}+C_2 e^{1}=1:
-\tfrac{1}{2} + C_2 e^{1} = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_2 e^{1} = \tfrac{3}{2}.
Portanto
C_2 = \tfrac{3}{2} e^{-1} = \tfrac{3}{2e}.]

Passo 7

Escrever a solução particular com os valores de C_1 e C_2:
y(x) = -\tfrac{e}{2}\,e^{\tfrac{x}{2}} + \tfrac{3}{2e}\,e^{-\tfrac{x}{2}}.
Posso reescrever de forma levemente mais compacta observando e\cdot e^{\tfrac{x}{2}}=e^{\tfrac{x+2}{2}} e e^{-1}e^{-\tfrac{x}{2}}=e^{-\tfrac{x+2}{2}}, obtendo
y(x)=\tfrac{1}{2}\Big(-e^{\tfrac{x+2}{2}} + 3e^{-\tfrac{x+2}{2}}\Big).

Passo 8

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): avaliar y(-2) e y'(-2) usando a forma encontrada recupera as condições 1 e -1 (os passos algébricos anteriores mostram isso), então a solução está correta.

Passo 9

Analisar o comportamento quando x\to\infty.
Observe os termos exponenciais:
e^{\tfrac{x}{2}}\to\infty\quad\text{e}\quad e^{-\tfrac{x}{2}}\to 0\quad\text{quando }x\to\infty.
Na solução particular o coeficiente do termo crescente e^{\tfrac{x}{2}} é C_1=-\tfrac{e}{2}, que é negativo. Assim o termo dominante quando x\to\infty é
-\tfrac{e}{2}e^{\tfrac{x}{2}}\to -\infty,
enquanto o outro termo tende a zero. Portanto
y(x)\to -\infty\quad\text{quando }x\to\infty.

Resposta

y(x)=-\dfrac{e}{2}e^{\tfrac{x}{2}}+\dfrac{3}{2e}e^{-\tfrac{x}{2}}
y(x)\to -\infty quando x\to\infty

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