Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo e descreva o que ocorre com a solução quando
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Achar a solução da equação diferencial com valor inicial
- Descrever o que acontece com a solução quando
.
Informações dadas:
- A equação diferencial é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
. - Condições iniciais em
: e .]
Passo 2
Idéia de resolução (passo a passo do método): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
, porque derivadas de
são múltiplos de
e isso transforma a ED numa equação algébrica para
(chamada equação característica). Vou aplicar isso aqui.
Proponho
. Então
Substituindo na equação dada:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 3
Resolver a equação característica:
Temos duas raízes reais distintas
e
. Para duas raízes reais distintas, a solução geral da ED é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Pequena explicação didática: cada raiz
dá uma solução
. Como a equação é linear e homogênea, qualquer combinação linear dessas duas soluções também é solução. As duas soluções são linearmente independentes porque uma não é múltiplo da outra, logo formam a base do espaço das soluções.
Passo 4
Calcular a derivada da solução geral (para usar as condições iniciais):
Passo 5
Aplicar as condições iniciais em
. Primeiro avalio as exponenciais em
:
Agora escrevo as duas equações obtidas a partir de
e
.
Da condição
:
Da condição
:
Passo 6
Resolver o sistema para
Agora tenho o sistema
Somando as duas equações:
Logo
Substituindo
:
Portanto
Passo 7
Escrever a solução particular com os valores de
e
:
Posso reescrever de forma levemente mais compacta observando
e
, obtendo
Passo 8
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): avaliar
e
usando a forma encontrada recupera as condições
e
(os passos algébricos anteriores mostram isso), então a solução está correta.
Passo 9
Analisar o comportamento quando
.
Observe os termos exponenciais:
Na solução particular o coeficiente do termo crescente
é
, que é negativo. Assim o termo dominante quando
é
enquanto o outro termo tende a zero. Portanto