Em cada item, diga se função

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 4x+1, & x<2, 3, & x=2, x^3+1, & x>2,
e pede para verificar se f é contínua no ponto c=2. Para isso, precisamos lembrar que f é contínua em x=2 se, e somente se,
limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x)=f(2)

Passo 2

Para x<2, f(x)=4x+1 é uma função afim, e sabemos que funções afins são contínuas em todo R. Logo, não há problema de continuidade em nenhum ponto da região x<2.
Para x>2, f(x)=x^3+1 é um polinômio (grau 3), e polinômios também são contínuos em todo R. Portanto, f é contínua em todos os pontos da região x>2.

Passo 3

Agora avaliamos os limites laterais em x=2:
limxto2^-f(x) =limxto2^-(4x+1) =4cdot2+1 =9,
limxto2^+f(x) =limxto2^+(x^3+1) =2^3+1 =9

Passo 4

Como os dois limites laterais coincidem em 9, temos
limxto2f(x)=9
Mas o valor da função em x=2 é f(2)=3, diferente de 9. Logo não se cumpre a condição de continuidade limxto2f(x)=f(2).

Resposta

A função f é contínua para todo xneq2 e apresenta descontinuidade removível em x=2. Portanto, em c=2, f não é contínua.

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