O enunciado pede para verificar a continuidade da função
em cada ponto cinR. Vamos usar que uma função é contínua num ponto se o limite à esquerda e à direita existem, são iguais entre si e coincidem com o valor da função.
Passo 2
Para c<0, a função é dada por e^xcos x, que é composição de funções exponencial e cosseno, ambas contínuas em todo R. Logo, em qualquer ponto c<0,
limxto cf(x)=e^ccos c=f(c),
portanto f é contínua em todos os c<0.
Passo 3
Para c>0, a função é dada por
2x2x+2
Trata-se de uma função racional cujo denominador 2x+2 não se anula para x>0. Assim,
limxto cf(x)=2c2c+2=f(c),
o que mostra que f é contínua em todo c>0.
Passo 4
No ponto c=0 precisamos comparar os limites laterais com f(0)=1.
Limite pela esquerda:
limxto0^-f(x)=limxto0^-e^xcos x =e^0cos0=1
Limite pela direita:
limxto0^+f(x) =limxto0^+2x2x+2 =02=0
Como limxto0^-f(x)=1neq0=limxto0^+f(x), não existe limite único em 0 e logo f é descontínua em 0.
Resposta
Para c<0: contínua.
Para c=0: não contínua.
Para c>0: contínua.