Em cada item, encontre equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (sempre que possível, por x, y e z ) para a reta que passa pelo ponto A e possui v como um vetor diretor.
(a) A = (-1, 2, 1) e v = (-1, 2, 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto e um vetor diretor . Nosso objetivo é encontrar as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas da reta que passa por e tem como vetor diretor. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a equação vetorial da reta. A equação vetorial tem a forma:
Onde é o vetor posição do ponto , é o vetor diretor, e é um parâmetro real.

Passo 3

Substituindo os valores:
Portanto, a equação vetorial fica:

Passo 4

Agora, vamos para as equações paramétricas. Elas decompõem a equação vetorial em três equações separadas para , e :
Onde são as coordenadas do ponto e são as componentes do vetor .

Passo 5

Substituindo:
Ou seja:

Passo 6

Vamos para as equações simétricas. Elas eliminam o parâmetro das equações paramétricas:
Substituindo os valores:

Passo 7

Por fim, as equações reduzidas reorganizam as equações simétricas para facilitar a leitura, mantendo a mesma estrutura:
Isso já está na forma reduzida, pois cada fração representa a relação entre as coordenadas da reta.

Resposta

As equações da reta são:
  • Equação Vetorial:
  • Equações Paramétricas:
  • Equações Simétricas e Reduzidas:

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