Em cada item, encontre equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (sempre que possível, por e ) para a reta que passa pelo ponto e possui como um vetor diretor.
(a) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto e um vetor diretor . Nosso objetivo é encontrar as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas da reta que passa por e tem como vetor diretor. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a equação vetorial da reta. A equação vetorial tem a forma:
Onde é o vetor posição do ponto , é o vetor diretor, e é um parâmetro real.
Passo 3
Substituindo os valores:
Portanto, a equação vetorial fica:
Passo 4
Agora, vamos para as equações paramétricas. Elas decompõem a equação vetorial em três equações separadas para , e :
Onde são as coordenadas do ponto e são as componentes do vetor .
Passo 5
Substituindo:
Ou seja:
Passo 6
Vamos para as equações simétricas. Elas eliminam o parâmetro das equações paramétricas:
Substituindo os valores:
Passo 7
Por fim, as equações reduzidas reorganizam as equações simétricas para facilitar a leitura, mantendo a mesma estrutura:
Isso já está na forma reduzida, pois cada fração representa a relação entre as coordenadas da reta.