Em cada item, encontre equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (sempre que possível, por x, y e z ) para a reta que passa pelo ponto A e possui v como um vetor diretor.
© A=(0,0,0) e v = (3,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar diferentes formas de representar uma reta no espaço. O enunciado nos dá um ponto por onde a reta passa e um vetor diretor . Para resolver, vamos usar conceitos de geometria analítica que nos permitem escrever equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a equação vetorial da reta. Ela é representada por:
onde é o vetor posição do ponto , é o vetor diretor, e é um parâmetro real.

Passo 3

Aplicando os valores dados, temos e . Substituindo na equação vetorial:
Então, a equação vetorial da reta é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta. Elas são obtidas a partir da equação vetorial, separando cada componente:
onde é o ponto e são as componentes do vetor diretor .

Passo 5

Substituindo os valores, temos:
Portanto, as equações paramétricas são:

Passo 6

Vamos agora para as equações simétricas. Elas são obtidas eliminando o parâmetro das equações paramétricas. A forma geral é:
No nosso caso, e , , .

Passo 7

Substituindo os valores:
Como , a coordenada é constante, ou seja, . Então, a equação simétrica fica:

Passo 8

Por fim, a equação reduzida da reta é uma forma simplificada das equações paramétricas ou simétricas. Já que é constante, podemos expressar a relação entre e de forma direta:

Resposta

As equações da reta são:
  • Vetorial:
  • Paramétricas:
  • Simétricas:
  • Reduzida:

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