Em cada item, encontre equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (sempre que possível, por
e
) para a reta que passa pelo ponto
e possui
como um vetor diretor.
©
e
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar diferentes formas de representar uma reta no espaço. O enunciado nos dá um ponto
por onde a reta passa e um vetor diretor
. Para resolver, vamos usar conceitos de geometria analítica que nos permitem escrever equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a equação vetorial da reta. Ela é representada por:
onde
é o vetor posição do ponto
,
é o vetor diretor, e
é um parâmetro real.
Passo 3
Aplicando os valores dados, temos
e
. Substituindo na equação vetorial:
Então, a equação vetorial da reta é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta. Elas são obtidas a partir da equação vetorial, separando cada componente:
onde
é o ponto
e
são as componentes do vetor diretor
.
Passo 5
Substituindo os valores, temos:
Portanto, as equações paramétricas são:
Passo 6
Vamos agora para as equações simétricas. Elas são obtidas eliminando o parâmetro
das equações paramétricas. A forma geral é:
No nosso caso,
e
,
,
.
Passo 7
Substituindo os valores:
Como
, a coordenada
é constante, ou seja,
. Então, a equação simétrica fica:
Passo 8
Por fim, a equação reduzida da reta é uma forma simplificada das equações paramétricas ou simétricas. Já que
é constante, podemos expressar a relação entre
e
de forma direta:
Resposta
As equações da reta são:
- Vetorial:
- Paramétricas:
- Simétricas:
- Reduzida: