Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os extremos locais da função
f(x) = \frac{x}{1+x^2}
ou seja, precisamos achar os pontos em que f'(x)=0 (críticos) e depois classificar se são máximos ou mínimos locais usando o sinal de f'(x).

Passo 2

Usamos a regra do quociente para derivar
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\quad u(x)=x,\;v(x)=1+x^2.
Então
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{1\cdot(1+x^2)-x\cdot(2x)}{(1+x^2)^2} =\frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} =\frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2}.

Passo 3

Para achar pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 1 - x^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 1.
Não há outros pontos críticos, pois o denominador (1+x^2)^2 nunca zera.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}:
  • Para x<-1, tem-se x^2>1 logo 1 - x^2<0, daí f'(x)<0 (função decrescente).
  • Para -1<x<1, tem-se x^2<1 logo 1 - x^2>0, daí f'(x)>0 (função crescente).
  • Para x>1, de novo x^2>1 e 1 - x^2<0, logo f'(x)<0 (função decrescente).

Passo 5

Com base no teste de monotonicidade:
  • Em x=-1 a função muda de decrescente para crescente, portanto há um mínimo local em x=-1.
  • Em x=1 a função muda de crescente para decrescente, portanto há um máximo local em x=1.
Calculamos os valores:
f(-1)=\frac{-1}{1+(-1)^2}=-\frac12, \qquad f(1)=\frac{1}{1+1^2}=\frac12.

Resposta

O único mínimo local é em x=-1, com valor f(-1)=-\tfrac12.
O único máximo local é em x=1, com valor f(1)=\tfrac12.

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