Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.

Passo 1

O enunciado pede os extremos locais da função
f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\quad x\in\mathbb{R}.
Vamos usar derivadas para encontrar pontos críticos e, em seguida, o teste da segunda derivada para classificá-los.

Passo 2

Calculamos a primeira e a segunda derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\Bigr) =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\operatorname{sinh} x,
f''(x)=\frac{d}{dx}(\operatorname{sinh} x)=\operatorname{cosh} x =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem
f'(x)=\operatorname{sinh} x=0.
Sabemos que \operatorname{sinh} x=0 só em x=0. Logo há um único ponto crítico: x=0.

Passo 4

Para classificar, avaliamos a segunda derivada em x=0:
f''(0)=\operatorname{cosh} 0=\frac{e^{0}+e^{-0}}{2}=1>0.
Como f''(0)>0, o ponto x=0 é um mínimo local. O valor da função é
f(0)=\frac{e^{0}+e^{-0}}{2}=1.

Resposta

O único extremo local de f é um mínimo em x=0, com valor f(0)=1. Não existem máximos locais.

Exercícios relacionados