Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada
f:(-\pi / 2, \pi / 2) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\tan x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f:(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\tan x
e pede os extremos locais. Para isso, vamos usar o teste da derivada: calcular f'(x), achar pontos críticos ( f'(x)=0 ou não existe), e então verificar monotonicidade.

Passo 2

Calculamos a derivada de \tan x. Como sabemos que
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x,
temos
f'(x)=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 3

Procuramos pontos críticos resolvendo
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec}^2 x=0.
Mas \operatorname{sec}^2 x=1/\cos^2 x é sempre positiva e nunca se anula para x\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). Logo, não há solução e não existem pontos críticos no domínio.

Passo 4

Como f'(x)=\operatorname{sec}^2 x>0 para todo x em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), a função é estritamente crescente e não apresenta máximos nem mínimos locais.

Resposta

A função f(x)=\tan x não possui extremos locais em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).

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