e pede os extremos locais. O conteúdo envolve derivadas de trechos e análise de monotonicidade, além de verificação no ponto de emenda x=2.
Passo 2
No intervalo (-\infty,2), temos f(x)=2^x. Calculamos
f'(x)=2^x\ln2.
Como 2^x>0 e \ln2>0 para todo x, segue f'(x)>0. Logo, f é estritamente crescente em (-\infty,2) e não há extremos locais nessa parte.
Passo 3
No intervalo (2,\infty), temos f(x)=-x^2+8. Calculamos
f'(x)=-2x.
A equação f'(x)=0 dá x=0, mas 0\notin(2,\infty). Portanto não há pontos críticos nem extremos locais em (2,\infty).
Passo 4
Analisamos o ponto de emenda x=2. Pelo trecho x\le2,
f(2)=2^2=4.
Para x<2, f cresce até 4; para x>2, como f'(x)=-2x<0 quando x>2, f começa a decrescer a partir de 4. Assim f(2)=4 é maior que os valores próximos, caracterizando um máximo local em x=2.
Resposta
Máximo local em x=2 com valor f(2)=4.
Não existem mínimos locais.