Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)= \begin{cases}2^{x}, & x \leq 2 \\\\ -x^{2}+8, & x>2\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases} 2^{x}, & x\le2,\\\\ -\,x^{2}+8, & x>2, \end{cases}
e pede os extremos locais. O conteúdo envolve derivadas de trechos e análise de monotonicidade, além de verificação no ponto de emenda x=2.

Passo 2

No intervalo (-\infty,2), temos f(x)=2^x. Calculamos
f'(x)=2^x\ln2.
Como 2^x>0 e \ln2>0 para todo x, segue f'(x)>0. Logo, f é estritamente crescente em (-\infty,2) e não há extremos locais nessa parte.

Passo 3

No intervalo (2,\infty), temos f(x)=-x^2+8. Calculamos
f'(x)=-2x.
A equação f'(x)=0 x=0, mas 0\notin(2,\infty). Portanto não há pontos críticos nem extremos locais em (2,\infty).

Passo 4

Analisamos o ponto de emenda x=2. Pelo trecho x\le2,
f(2)=2^2=4.
Para x<2, f cresce até 4; para x>2, como f'(x)=-2x<0 quando x>2, f começa a decrescer a partir de 4. Assim f(2)=4 é maior que os valores próximos, caracterizando um máximo local em x=2.

Resposta

Máximo local em x=2 com valor f(2)=4.
Não existem mínimos locais.

Exercícios relacionados