Determine o valor das seguintes integrais, se possível.
Encontre, se existir, o valor de cada uma das seguintes integrais:
\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{16-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{4}\frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\,dx,
que é imprópria no limite superior x=4 porque \sqrt{16-4^2}=0. Vamos primeiro encontrar uma primitiva e depois verificar o limite.

Passo 2

Para achar a primitiva de
\frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}},
façamos a substituição
u = 16 - x^{2}, \quad du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Isso transforma
\int \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\Bigl(-\tfrac{1}{2}\,du\Bigr) = -\tfrac{1}{2}\int u^{-\tfrac12}du = -\tfrac{1}{2}\cdot 2\,u^{\tfrac12}+C = -\,\sqrt{u}+C.
Voltando a x, a primitiva é
F(x) = -\sqrt{16 - x^{2}} + C.

Passo 3

Como a integral é imprópria em x=4, calculamos
\int_{0}^{4}\frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\,dx = \lim_{b\to4^-}\bigl[F(b)-F(0)\bigr].
Substituindo F(x):
F(b)-F(0) = \bigl(-\sqrt{16-b^{2}}\bigr) - \bigl(-\sqrt{16-0^{2}}\bigr) = -\,\sqrt{16-b^{2}} + 4.
Tomando b\to4^-, \sqrt{16-b^{2}}\to0.

Passo 4

Portanto
\int_{0}^{4}\frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\,dx = \lim_{b\to4^-}\bigl(-\sqrt{16-b^{2}}+4\bigr) = 0 + 4 = 4.

Resposta

O valor da integral é 4.

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