Em cada item encontre os extremos globais da função.
f(x)=\operatorname{tg} x, x \in[-\pi / 4, \pi / 4]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos globais da função \displaystyle f(x)=\tan x
no intervalo fechado \displaystyle [-\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{\pi}{4}].
Como a função é contínua nesse intervalo fechado e derivável em seu interior, vamos usar o teste da derivada para verificar monotonicidade e, a partir disso, determinar os extremos.

Passo 2

Calculamos a derivada de \displaystyle f(x)=\tan x:
f'(x)=\operatorname{sec}^2 x.
Como para todo x\in[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}] vale \cos x\neq0 e \operatorname{sec}^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}>0, concluímos que f'(x)>0 em todo o intervalo. Logo, f é estritamente crescente em [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}].

Passo 3

Para uma função estritamente crescente em um intervalo fechado, o mínimo global ocorre no extremo à esquerda e o máximo global no extremo à direita. Avaliando:
f\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tan\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=-1,
f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1.

Resposta

Mínimo global: \;f(-\tfrac{\pi}{4})=-1.
Máximo global: \;f(\tfrac{\pi}{4})=1.

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