[T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T dada nas bases indicadas.
T: P_{3}(x) \longrightarrow P_{2}(x) dada por T p=p^{\prime} com \alpha e \beta canonônicas.
Passo 1
O enunciado pede a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T\colon P_{3}(x)\to P_{2}(x) definida por T(p)=p' (derivada de p), com \alpha e \beta sendo as bases canônicas dos respectivos espaços. Informação dada:
T é a derivação: aplica p\mapsto p'.
Domínio: P_{3}(x) (polinômios de grau ≤ 3) com base canônica \alpha.
Contradomínio: P_{2}(x) (polinômios de grau ≤ 2) com base canônica \beta.
O que se pede: construir a matriz de T relativa às bases canônicas \alpha (domínio) e \beta (codomínio).
Passo 2
Vamos escrever explicitamente as bases canônicas e a ordem delas (a ordem é importante porque determina as colunas e linhas da matriz):
Aqui a primeira coordenada refere-se ao coeficiente do termo 1, a segunda ao coeficiente de x e a terceira ao coeficiente de x^{2}. Na construção da matriz, a j-ésima coluna será a coordenada de T aplicada ao j-ésimo vetor de \alpha, expressa na base \beta.
Passo 3
Regra útil (e muito usada em provas): a derivada de um monômio \,x^{n}\, é
Explicação rápida de checagem: se p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3} tem vetor de coordenadas em \alpha igual a \begin{pmatrix}a_{0}\a_{1}\a_{2}\a_{3}\end{pmatrix}, então multiplicando por [T]_{\beta}^{\alpha} obtém-se