Em cada item encontre a matriz
[T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T dada nas bases indicadas.
T: P_{3}(x) \longrightarrow P_{2}(x) dada por T p=p^{\prime} com \alpha e \beta canonônicas.

Passo 1

O enunciado pede a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T\colon P_{3}(x)\to P_{2}(x) definida por T(p)=p' (derivada de p), com \alpha e \beta sendo as bases canônicas dos respectivos espaços. Informação dada:
  • T é a derivação: aplica p\mapsto p'.
  • Domínio: P_{3}(x) (polinômios de grau ≤ 3) com base canônica \alpha.
  • Contradomínio: P_{2}(x) (polinômios de grau ≤ 2) com base canônica \beta.
    O que se pede: construir a matriz de T relativa às bases canônicas \alpha (domínio) e \beta (codomínio).

Passo 2

Vamos escrever explicitamente as bases canônicas e a ordem delas (a ordem é importante porque determina as colunas e linhas da matriz):
\alpha=\{\,1,\; x,\; x^{2},\; x^{3}\,\}, \qquad \beta=\{\,1,\; x,\; x^{2}\,\}.
Aqui a primeira coordenada refere-se ao coeficiente do termo 1, a segunda ao coeficiente de x e a terceira ao coeficiente de x^{2}. Na construção da matriz, a j-ésima coluna será a coordenada de T aplicada ao j-ésimo vetor de \alpha, expressa na base \beta.

Passo 3

Regra útil (e muito usada em provas): a derivada de um monômio \,x^{n}\, é
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando isso aos vetores da base \alpha:
T(1)=(1)'=0, \qquad T(x)=(x)'=1, \qquad T(x^{2})=(x^{2})'=2x, \qquad T(x^{3})=(x^{3})'=3x^{2}.

Passo 4

Agora expresse cada imagem como coordenadas na base \beta=\{1,x,x^{2}\}:
  • T(1)=0 tem coordenadas \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} em \beta.
  • T(x)=1 tem coordenadas \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} em \beta (coeficiente 1 do termo constante).
  • T(x^{2})=2x tem coordenadas \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix} em \beta (coeficiente 2 no x).
  • T(x^{3})=3x^{2} tem coordenadas \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix} em \beta (coeficiente 3 no x^{2}).

Passo 5

A matriz [T]_{\beta}^{\alpha} tem essas coordenadas como colunas, na ordem dos vetores de \alpha. Assim:
[T]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Explicação rápida de checagem: se p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3} tem vetor de coordenadas em \alpha igual a \begin{pmatrix}a_{0}\a_{1}\a_{2}\a_{3}\end{pmatrix}, então multiplicando por [T]_{\beta}^{\alpha} obtém-se
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{0}\a_{1}\a_{2}\a_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{1}\\[4pt]2a_{2}\\[4pt]3a_{3}\end{pmatrix},
que são exatamente os coeficientes de p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}. Perfeito para a prova.]

Resposta

[T]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}]

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