Considere a equação abaixo que define uma cônica nas coordenadas canônicas:
4 x^{2}-2 x y+7 y^{2}=1
Encontre a equação de tal cônica nas coordenadas referentes à base \beta=\left\{\left(\frac{2}{3}, \frac{-1}{3}\right),\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)\right\}.

Passo 1

O enunciado dá a cônica na base canônica por
4x^{2}-2xy+7y^{2}=1
e pede a equação dessa mesma cônica nas coordenadas referentes à base \beta=\left\{\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{-1}{3}\right),\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right)\right\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação original em coordenadas canônicas envolve as variáveis \,x e \,y.
  • A base nova \beta tem vetores v_{1}=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{-1}{3}\right),\qquad v_{2}=\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right).
  • O que se quer: escrever a equação da cônica em coordenadas \,(u_{1},u_{2}) tais que um vetor qualquer (x,y) da base canônica seja representado como combinação linear de v_{1} e v_{2} com coeficientes u_{1} e u_{2}.

Passo 2

Vou transformar a equação quadrática em forma matricial (aulas rápidas do conteúdo que precisamos).
Qualquer forma quadrática em duas variáveis pode ser escrita como
\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=1,
onde A é uma matriz simétrica 2\times2. Para a expressão
4x^{2}-2xy+7y^{2}
a regra é: o coeficiente de x^{2} é a_{11}, o de y^{2} é a_{22}, e o coeficiente de xy é 2a_{12}. Assim
2a_{12}=-2\implies a_{12}=-1.
Portanto a matriz A é
A=\begin{pmatrix}4 & -1\\[4pt]-1 & 7\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora explico como mudar de coordenadas para a base \beta.
Se \,u=\begin{pmatrix}u_{1}\\[4pt]u_{2}\end{pmatrix} são as coordenadas de um vetor na base \beta, a sua representação na base canônica é
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=P\,u,
onde P é a matriz cujas colunas são os vetores de \beta escritos na base canônica. Com os vetores dados,
P=\begin{pmatrix}\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{-1}{3} & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Substituindo \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=P u na forma quadrática original obtemos
\big(Pu\big)^{T} A \big(Pu\big)=1.
Como \big(Pu\big)^{T}=u^{T}P^{T}, isso vira
u^{T}\big(P^{T} A P\big) u = 1.
Logo a matriz da forma quadrática nas coordenadas (u_{1},u_{2}) é
A' = P^{T} A P.
Explicando: A' contém os coeficientes da nova equação em u_{1},u_{2}; nosso próximo passo é calcular A'.]

Passo 5

Calculo prático: primeiro calcule A P. Usando
A=\begin{pmatrix}4 & -1\\[4pt]-1 & 7\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{-1}{3} & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix},
multiplicando coluna a coluna:
  • Primeira coluna de AP:
A\begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{-1}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\cdot\tfrac{2}{3}+(-1)\cdot\tfrac{-1}{3}\\[4pt]-1\cdot\tfrac{2}{3}+7\cdot\tfrac{-1}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{8}{3}+\tfrac{1}{3}\\[4pt]-\tfrac{2}{3}-\tfrac{7}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
  • Segunda coluna de AP:
A\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\cdot\tfrac{1}{3}+(-1)\cdot\tfrac{1}{3}\\[4pt]-1\cdot\tfrac{1}{3}+7\cdot\tfrac{1}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{4}{3}-\tfrac{1}{3}\\[4pt}-\tfrac{1}{3}+\tfrac{7}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Portanto
AP=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]-3 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora calcule A'=P^{T}(AP). Primeiro escreva P^{T}:
P^{T}=\begin{pmatrix}\tfrac{2}{3} & \tfrac{-1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
Multiplicando P^{T} por AP:
  • Entrada (1,1):
\tfrac{2}{3}\cdot 3 + \tfrac{-1}{3}\cdot(-3)=2+1=3.
  • Entrada (1,2):
\tfrac{2}{3}\cdot 1 + \tfrac{-1}{3}\cdot 2=\tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{3}=0.
  • Entrada (2,1):
\tfrac{1}{3}\cdot 3 + \tfrac{1}{3}\cdot(-3)=1-1=0.
  • Entrada (2,2):
\tfrac{1}{3}\cdot 1 + \tfrac{1}{3}\cdot 2=\tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}=1.
Logo
A' = P^{T} A P = \begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

A matriz A' dá diretamente a equação da cônica nas coordenadas (u_{1},u_{2}):
3u_{1}^{2}+1\cdot u_{2}^{2}=1,
ou mais simplesmente
3u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=1.
Interpretação rápida (só para motivar): esta é uma elipse alinhada com os eixos das coordenadas u_{1},u_{2} — a mudança de base “desrotacionou” e diagonalizou a forma quadrática neste caso.

Resposta

3u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=1

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