Considere a equação abaixo que define uma cônica nas coordenadas canônicas:
Encontre a equação de tal cônica nas coordenadas referentes à base
.
Passo 1
O enunciado dá a cônica na base canônica por
e pede a equação dessa mesma cônica nas coordenadas referentes à base
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação original em coordenadas canônicas envolve as variáveis
e . - A base nova
tem vetores - O que se quer: escrever a equação da cônica em coordenadas
tais que um vetor qualquer da base canônica seja representado como combinação linear de e com coeficientes e .
Passo 2
Vou transformar a equação quadrática em forma matricial (aulas rápidas do conteúdo que precisamos).
Qualquer forma quadrática em duas variáveis pode ser escrita como
onde
é uma matriz simétrica
. Para a expressão
a regra é: o coeficiente de
é
, o de
é
, e o coeficiente de
é
. Assim
Portanto a matriz
é
Passo 3
Agora explico como mudar de coordenadas para a base
.
Se
são as coordenadas de um vetor na base
, a sua representação na base canônica é
onde
é a matriz cujas colunas são os vetores de
escritos na base canônica. Com os vetores dados,
Passo 4
Substituindo
na forma quadrática original obtemos
Como
, isso vira
Logo a matriz da forma quadrática nas coordenadas
é
Explicando:
contém os coeficientes da nova equação em
; nosso próximo passo é calcular
.]
Passo 5
Calculo prático: primeiro calcule
. Usando
multiplicando coluna a coluna:
- Primeira coluna de
:
- Segunda coluna de
:
Portanto
Passo 6
Agora calcule
. Primeiro escreva
:
Multiplicando
por
:
- Entrada
:
- Entrada
:
- Entrada
:
- Entrada
:
Logo
Passo 7
A matriz
dá diretamente a equação da cônica nas coordenadas
:
ou mais simplesmente
Interpretação rápida (só para motivar): esta é uma elipse alinhada com os eixos das coordenadas
— a mudança de base “desrotacionou” e diagonalizou a forma quadrática neste caso.