Encontre as coordenadas do vetor w na base dada.
\operatorname{Em} M(2 \times 2), o vetor w=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right) na base ordenada formaada por v_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 2 & 1\end{array}\right), v_{4}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá o vetor (matriz) w em M(2\times2) e uma base ordenada (v_1,v_2,v_3,v_4). Vou listar explicitamente os dados fornecidos:
  • Vetor alvo:
w=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
  • Vetores da base (na ordem dada):
v_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\qquad v_{2}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
v_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix},\qquad v_{4}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
O que o enunciado pede: encontrar as coordenadas de w na base ordenada dada, isto é, os escalares (coordenadas) \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 tais que
w=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_4 v_4.]

Passo 2

Explicando a ideia (passo pedagógico): pedir as coordenadas na base significa escrever w como combinação linear dos vetores da base. Cada coeficiente \alpha_i é a coordenada de w na direção de v_i. Como estamos em M(2\times2), igualar matrizes equivale a igualar cada entrada correspondente. Então vamos colocar
\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\in\mathbb{R}
e escrever
\alpha_1\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} +\alpha_3\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} +\alpha_4\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Faço a soma dos termos à esquerda combinando as entradas correspondentes; a matriz resultante em termos das \alpha_i é
\begin{pmatrix} \alpha_1+\alpha_3+\alpha_4 & \alpha_2-\alpha_4 \\[6pt] 2\alpha_3+2\alpha_4 & \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4 \end{pmatrix}.
Como essa matriz deve ser igual a \begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}, igualamos entrada a entrada e obtemos o sistema linear:
\begin{cases} \alpha_1+\alpha_3+\alpha_4=1,\\[4pt] \alpha_2-\alpha_4=1,\\[4pt] 2\alpha_3+2\alpha_4=1,\\[4pt] \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=1. \end{cases}
Vou numerar as equações para facilitar: (1) a primeira, (2) a segunda, (3) a terceira, (4) a quarta.]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo, de forma clara e sem pular etapas.
Da equação (3) temos primeiro:
2\alpha_3+2\alpha_4=1 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_3+\alpha_4=\tfrac{1}{2}.
Chamo isso de (3’).
Usando (1) que é \alpha_1+\alpha_3+\alpha_4=1, substituo \alpha_3+\alpha_4 por \tfrac{1}{2} e obtenho
\alpha_1+\tfrac{1}{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_1=\tfrac{1}{2}.
Agora uso a equação (4): \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=1. Mas já sei que \alpha_1+\alpha_3+\alpha_4=1 (essa é a equação (1)), então
(\alpha_1+\alpha_3+\alpha_4)+\alpha_2=1 \quad\Longrightarrow\quad 1+\alpha_2=1,
portanto
\alpha_2=0.
Com \alpha_2=0, volto à equação (2): \alpha_2-\alpha_4=1
0-\alpha_4=1 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_4=-1.
Finalmente, usando (3’) \alpha_3+\alpha_4=\tfrac{1}{2} e substituindo \alpha_4=-1, encontro
\alpha_3+\!(-1)=\tfrac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad \alpha_3=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}.
Resumindo os coeficientes encontrados:
\alpha_1=\tfrac{1}{2},\qquad \alpha_2=0,\qquad \alpha_3=\tfrac{3}{2},\qquad \alpha_4=-1.

Passo 5

Verificação (sempre útil na prova): recompondo a combinação com esses coeficientes:
\tfrac{1}{2}v_1+0\cdot v_2+\tfrac{3}{2}v_3+(-1)v_4 = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2}+ \tfrac{3}{2}-1 & 0+0-\!(-1) \\[4pt] 0+0+2\cdot\tfrac{3}{2}+2\cdot(-1) & \tfrac{1}{2}+0+\tfrac{3}{2}-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},
ou seja, recupera w corretamente. Isso confirma que as coordenadas achadas estão certas. Observação rápida: como foi dada uma base (vetores da base são linearmente independentes), a solução das coordenadas é única.]

Resposta

\left(\tfrac{1}{2},\,0,\,\tfrac{3}{2},\,-1\right)

Exercícios relacionados