Em cada item, encontre uma parametrização
enfatizando o conjunto
que parametriza a superfície
quando esta o gráfico da função
.
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização
que tenha imagem igual à superfície
quando esta superfície for o gráfico da função
As informações relevantes que o enunciado dá são:
- a superfície é o gráfico de
, isto é, pontos da forma com ; - a função envolve raiz quadrada, logo existe a restrição dentro da raiz:
deve ser não negativa; - o enunciado afirma também
, que é compatível com (a raiz é não negativa e atinge no máximo quando ).
Passo 2
Entendendo o gráfico: o gráfico de
é o conjunto
Para que a raiz esteja bem definida (número real), precisamos de
Portanto o domínio natural para as coordenadas livremente escolhidas
é o disco fechado de raio
no plano
. Note que, para qualquer
neste disco,
satisfaz
, compatível com o enunciado.
Passo 3
Construção direta (coordenadas cartesianas projetando pelo par
).
Escolhemos parâmetros que representam exatamente as coordenadas
e
:
definimos
Escolhemos parâmetros
definimos
Aqui
corresponde a
e
corresponde a
. O conjunto de parâmetros
é o disco onde a raiz é real:
Por que isso funciona: para cada
a imagem
é exatamente
, que pertence a
. Reciprocamente, todo ponto de
tem coordenadas
que pertencem a
, então
.
Passo 4
Parametrização alternativa em coordenadas polares no plano
(muito útil em integrais ou quando queremos uma fórmula mais simples para a raiz).
Faça a troca
Faça a troca
com
e
. Substituindo em
obtemos
O domínio de parâmetros fica
Vantagem: a raiz depende só de
(ficando
), o que facilita cálculos e visualização (é um “cap” hemisférico invertido sobre o disco do plano
).
Passo 5
Observações práticas e dicas para a prova:
- A construção padrão para o gráfico de uma função
é sempre usar os parâmetros iguais às variáveis independentes: . Isso é quase sempre a primeira tentativa a testar. - Verifique sempre a condição de existência (aqui
) e escreva explicitamente . - Se o domínio no plano de projeção é um disco (ou qualquer região com simetria radial), a mudança para coordenadas polares
costuma simplificar bastante integrals e dar uma parametrização mais “limpa”. - Não esqueça que para pontos na fronteira
a raiz vale zero; esses pontos também pertencem ao gráfico e são incluídos porque usamos o disco fechado.