Em cada item, encontre uma parametrização g: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} enfatizando o conjunto D que parametriza a superfície S=\operatorname{Im} g quando esta o gráfico da função f.
f(x, z)=\sqrt{2-x^{2}-z^{2}} e 0 \leq y \leq \sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização g:D\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 que tenha imagem igual à superfície S quando esta superfície for o gráfico da função
f(x,z)=\sqrt{2-x^{2}-z^{2}}.
As informações relevantes que o enunciado dá são:
  • a superfície é o gráfico de f, isto é, pontos da forma (x,y,z) com y=f(x,z);
  • a função envolve raiz quadrada, logo existe a restrição dentro da raiz: 2-x^{2}-z^{2} deve ser não negativa;
  • o enunciado afirma também 0\le y\le\sqrt{2}, que é compatível com y=f(x,z) (a raiz é não negativa e atinge no máximo \sqrt{2} quando x=z=0).

Passo 2

Entendendo o gráfico: o gráfico de f é o conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=\sqrt{2-x^2-z^2}\}.
Para que a raiz esteja bem definida (número real), precisamos de
2-x^{2}-z^{2}\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+z^{2}\le 2.
Portanto o domínio natural para as coordenadas livremente escolhidas (x,z) é o disco fechado de raio \sqrt{2} no plano xz. Note que, para qualquer (x,z) neste disco, y=\sqrt{2-x^2-z^2} satisfaz 0\le y\le\sqrt{2}, compatível com o enunciado.

Passo 3

Construção direta (coordenadas cartesianas projetando pelo par (x,z)).
Escolhemos parâmetros (u,v) que representam exatamente as coordenadas x e z:
definimos
g(u,v)=\bigl(u,\;\sqrt{2-u^{2}-v^{2}},\;v\bigr).
Aqui u corresponde a x e v corresponde a z. O conjunto de parâmetros D é o disco onde a raiz é real:
D=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \mid u^{2}+v^{2}\le 2\}.
Por que isso funciona: para cada (u,v)\in D a imagem g(u,v) é exatamente (x,y,z)=(u,\sqrt{2-u^{2}-v^{2}},v), que pertence a S. Reciprocamente, todo ponto de S tem coordenadas (x,z) que pertencem a D, então S=\operatorname{Im} g.

Passo 4

Parametrização alternativa em coordenadas polares no plano xz (muito útil em integrais ou quando queremos uma fórmula mais simples para a raiz).
Faça a troca
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,
com 0\le r\le\sqrt{2} e 0\le\theta<2\pi. Substituindo em g obtemos
g(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;\sqrt{2-r^{2}},\;r\sin\theta\bigr).
O domínio de parâmetros fica
D=\{(r,\theta)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0\le r\le\sqrt{2},\;0\le\theta<2\pi\}.
Vantagem: a raiz depende só de r (ficando \sqrt{2-r^{2}}), o que facilita cálculos e visualização (é um “cap” hemisférico invertido sobre o disco do plano xz).

Passo 5

Observações práticas e dicas para a prova:
  • A construção padrão para o gráfico de uma função y=f(x,z) é sempre usar os parâmetros iguais às variáveis independentes: (u,v)\mapsto (u,f(u,v),v). Isso é quase sempre a primeira tentativa a testar.
  • Verifique sempre a condição de existência (aqui 2-u^2-v^2\ge 0) e escreva explicitamente D.
  • Se o domínio no plano de projeção é um disco (ou qualquer região com simetria radial), a mudança para coordenadas polares (r,\theta) costuma simplificar bastante integrals e dar uma parametrização mais “limpa”.
  • Não esqueça que para pontos na fronteira u^2+v^2=2 a raiz vale zero; esses pontos também pertencem ao gráfico e são incluídos porque usamos o disco fechado.

Resposta

g(u,v)=\bigl(u,\;\sqrt{2-u^{2}-v^{2}},\;v\bigr),\qquad D=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2\mid u^{2}+v^{2}\le 2\}
g(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;\sqrt{2-r^{2}},\;r\sin\theta\bigr),\qquad D=\{(r,\theta)\mid 0\le r\le\sqrt{2},\;0\le\theta<2\pi\}

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